¿La segunda diagonal principal más larga en la espiral de Ulam?

Question

Dada la espiral de Ulam , el centro de la $c = 41$ y los números de una dirección a la derecha, tenemos,

$$\begin{array}{cccccc} \color{red}{61}&62&63&64&\to\\ 60&\color{red}{47}&48&49&50\\ 59&46&\color{red}{\small{c=\,}41}&42&51\\ 58&45&44&\color{red}{43}&52\\ 57&56&55&54&\color{red}{53}&\downarrow\\ \end{array}$$

La diagonal principal está definida por Euler del polinomio $F(n) = n^2+n+41$, y los rendimientos de los distintos primos de 40 consecutivas $n = 0\,\text{to}\,39$.

Si dejamos $c = 3527$ ya que en esta edad de la lesión.matemáticas post, nos,

$$\begin{array}{cccccccc} \color{blue}{3569}&3570&3571&3572&3573&3574&\to\\ 3568&\color{red}{3547}&3548&3549&3550&3551&3552\\ 3567&3546&\color{red}{3533}&3534&3535&3536&3553\\ 3566&3545&3532&\color{red}{\small{c=\,}3527}&3528&3537&3554\\ 3565&3544&3531&3530&\color{red}{3529}&3538&3555\\ 3564&3543&3542&3541&3540&\color{red}{3539}&3556\\ 3563&3562&3561&3560&3559&3558&\color{red}{3557}&\downarrow\\ \end{array}$$

El polinomio es $G(n) = 4n^2-2n+3527$ y es primo de 23 consecutivas $n = -2\,\text{to}\,20$. Su plaza libre discriminante es $d = -14107$ y tiene un número de clase $h(d) = 11$. Esta es la 3ª más grande (en valor absoluto) con que $h(d)$. El número azul, $G(-3)=3569$ no es primo.

Pregunta: Para $F(n) = n^2+n+p$, el registro se mantiene por Euler del polinomio. Para el formulario de $G(n) = 4n^2\pm 2n+p$, hay uno mejor?

P. S. Otros polinomios tales como $F(n) = 6n^2+6n+31$ son excelentes para $n=0\,\text{to}\,28$, pero no diagonales en la espiral de Ulam.

Answer 1

(Actualizada.) Saber más Mathematica de codificación, que re-visitado esta vieja pregunta. Dado,

$$P(n) = 4n^2\pm2n+p\tag1$$

He buscado en la primera $million$ primos $p$. La completa tabla de registro de $P(n)$, con al menos $14$ consecutivo $n$ en el rango $n = -5 \to 60\,$ rendimiento de los números primos están en la tabla de abajo.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{#} & P(n)=an^2+bn+c & d = b^2-4ac & h(d) & Prime\; range\; n &Total\,(T)\\ 1& 4n^2-2n+41 &\color{red}{-163} & 1&-19 \to 20& 40\\ 2& 4n^2-2n+3527 &\color{blue}{-14107} & 11&-2 \to 20& 23\\ 3& 4n^2+2n+21377 &\color{red}{-85507} & 22&47 \to 64& 18\\ 4& 4n^2-2n+9281 &\color{red}{-37123} & 17& 0 \to 16& 17\\ 5& 4n^2-2n+17 &\color{blue}{-67} & 1&-7 \to 8&16\\ 6& 4n^2+2n+41201&\color{red}{-164803} & 32& 52 \to 66& 15\\ 7& 4n^2+2n+12821&-51283& 21& 8 \to 21& 14\\ 8& 4n^2-2n+3461 &\color{red}{-13843} & 10&34 \to 47&14\\ 9& 4n^2-2n+1277 &\color{blue}{-5107} & 7&19 \to 32&14\\ \hline \end{array}$$

Si el discriminante $d$ en rojo, es el más grande de $|d|$ de una clase de número de $h(d)$. Si es de color azul, entonces es uno de los $3$ mayor $|d|$ de esa clase.

Por ejemplo, el uso de #3, si tienes una espiral de Ulam, el centro de la $c=21377$, luego en su diagonal principal hay $18$ de los números primos en una fila. Involucra $d = -85507$ que es la más grande de $|d|$$h(d) = 22$.

P. S. Considerando que la millonésima prime es $p(10^6) = 15485863$, parece extraño que no hay un gran $p$ encuentra dentro del radio de búsqueda. Sin embargo, sólo he buscado $n = -5\to 60$, por lo que otra opción de intervalo pueden producir otros $P(n)$.