¿Es este límite indeterminado o$e^2$ o qué?

Question

Cuál es la respuesta a esto:

$$ \ lim_ {x \ to ∞} \ left ({2x +3 \ over 2x-1} \ right) ^ x $$

Mi calculadora dice que esto es$ e^2 $, pero la única respuesta que puedo obtener es$ 1^\infty $, que es indeterminado.

Answer 1

$$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{2x-1}\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x-1+4}{2x-1}\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{2x-1}\right)^x=$ $$$\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x-1}{4}}\right)^\frac{2x-1}{4}\right)^\frac{4x}{2x-1}=e^2$ $

ya que:

I.$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{4}=+\infty$ $

y luego$$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x-1}{4}}\right)^\frac{2x-1}{4}=e$ $

II. ps

Answer 2

Usando la definición de límite de la función exponencial

ps

podemos escribir

$$ \begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x+3}{2x-1}\right)^x&=\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1+\frac{3/2}{x}}{1+\frac{-1/2}{x}}\right)^x\\\\ &=\frac{\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac {3/2}{x}\right)^x}{\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac {-1/2}{x}\right)^x}\\\\\ &=\frac{e^{3/2}}{e^{-1/2}}\\\\ &=e^2 \end {align} $$

Answer 3

Considere$$A= \left({2x+3\over 2x-1}\right)^x$$ $$\log(A)=x\log\left({2x+3\over 2x-1}\right)=x\log\left(1+{4\over 2x-1}\right)$$ Now, remembering that, for small $ y$, $ \ log (1 + y) \ sim y$ $$\log(A)\sim x \times {4\over 2x-1}={4x\over 2x-1}\sim {4x\over 2x}=2$ $

Answer 4

ps

Ahora, teniendo en cuenta que$$\left(\frac{2x+3}{2x-1}\right)^x=\left(\frac{1+\frac{3}{2x}}{1+\frac{-1}{2x}}\right)^x=\frac{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{2x}{3}}\right)^{\frac{2x}{3}}\right]^{\frac{3}{2}}}{\left[\left(1+\frac{1}{-2x}\right)^{-2x}\right]^{\frac{-1}{2}}}$ como$\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\to e$, podemos tomar$\vert y \vert \to \infty$ en el numerador y el denominador, respectivamente, para ver que este límite tiende a$y=\frac{2x}{3}, -2x$ según sea necesario.

Answer 5

ps

Tenemos $$\left(\frac{2x+3}{2x-1}\right)^x=\exp\left(x\ln\left(1+\frac{4}{2x-1}\right)\right)$.

Entonces como $\ln\left(1+\frac{4}{2x-1}\right)=\frac{4}{2x-1}+o_{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)$.

Por lo tanto$x\ln\left(1+\frac{4}{2x-1}\right)=\frac{4x}{2x-1}+o(1)\to 2$