Grupo de pedido$60$ con más de un subgrupo de Sylow -$5$ es simple

Question

Demuestre que un grupo de orden$60$ con más de un subgrupo de Sylow -$5$ es simple.

He demostrado que hay$6$ Sylow -$5$ subgrupos, y puedo usar el hecho de que$A_5$ es simple, así que solo necesito mostrar que el único grupo posible que puede ser es $A_5$. No estoy seguro de qué hacer a continuación, aunque ...

Answer 1

Primero hemos de probar que un grupo de orden $30$ tiene que ser normal Sylow $5$-subgrupo. La otra posibilidad es que se ha $6$, pero entonces no sólo sería $6$ elementos no tener orden de $5$, por lo que tienen un nivel normal de Sylow $3$-subgrupo $N$, $G/N$ tienen un nivel normal de Sylow $5$-subgrupo y, por tanto, sería el $G$, contradicción.

Ahora supongamos que $|G| = 60$, y deje $1 < N \lhd G$.

Caso 1. Si $5$ divide $|N|$, luego por la del teorema de Sylow y el resultado por encima de $N$ tiene un normal Sylow $5$-subgrupo, que también debe ser normal en $G$.

Caso 2. De lo contrario, por Sylow o por el resultado por encima de $G/N$ tiene que ser normal Sylow $5$-subgrupo $P/N$, y para el Caso 1 se aplica a $P \lhd G$, excepto cuando se $|N|=12$$P=G$.

Caso 3. Si $|N|=12$, luego por Sylow y contando, $N$ debe tener un normal Sylow $2$-subgrupo normal de Sylow $3$-subgrupo, que es lo normal en $G$, y estamos de vuelta en el Caso 2.

Así que si $G$ $6$ Sylow $5$-subgrupos, entonces debe ser simple.