Un grupo$G$ es abelian si y solo si un determinado subconjunto del producto directo es un subgrupo

Question

Deje $(G, +)$ ser un grupo y vamos a $K = \{ (x_1, ..., x_n) \ | \ x_1 + .... + x_n = e\} \subseteq G^n$ donde $e$ es la identidad de $G$. Mostrar que $(G, +)$ es abelian si y sólo si $K$ es un subgrupo de $G^n$.

Mi intento de prueba: Supongamos que $(G, +)$ es abelian, nos muestran que la $K$ es un subgrupo de $G^n$. Pick $a, b \in K$, nos muestran que la $a +_{G^n} b^{-1} \in K$ (donde $+_{G^n}$ se refiere a que el grupo de teoría de operación $G^n$).

Observar que la identidad de $G^n$ $e_{G^n} = (e_1, ..., e_n)$ donde$e_i = e$$i \in \{1, ..., n\}$.

Tenga en cuenta que $b^{-1}$ es un elemento en el $G^n$ (desde $G^n$ es un grupo) de forma tal que $b^{-1} +_{G^n} b = e_{G^n}$ $(b_1^{-1} + b_1, ..., b_n^{-1} + b_n) = (e_1, ..., e_n)$ donde$e_i =e$$i \in \{1, ..., n\}$.

Desde $e_{G^n} \in K$ trivialmente (debido a $e+ ... + e = e$) tenemos a continuación, $b^{-1} +_{G^n} b \in K$ por lo tanto $b_1^{-1} + b_1 + b_2^{-1} + b_2 + ... + b_n^{-1} + b_n = e$ y por abelianness de $G$ tenemos $b_1^{-1} +b_2^{-1} + ... + b_n^{-1} + b_1 + b_2 + ... + b_n = e$, lo que implica que $b_1^{-1} + b_2^{-1} + ... + b_n^{-1} +e=e$, lo que implica que $b_1^{-1} + b_2^{-1} + ... + b_n^{-1} = e$ por lo tanto $b^{-1} \in K$.

Ahora tenga en cuenta que $a +_{G^n} b^{-1} = (a_1 + b_1^{-1}, ..., a_n + b_n^{-1})$ y observar que, desde $a, b^{-1} \in K$ tenemos $a_1 + ... + a_n = e$$b_1^{-1} + ... + b_n^{-1} = e$. Por lo tanto

\begin{equation} \begin{split} a_1 + b_1^{-1} + ... + a_n + b_n^{-1} &= (a_1 + ... + a_n) + (b_1^{-1} + ...+ b_n^{-1}) \ \ \ \ \text{by abelianness of %#%#%}\\ & = e + e \ \ \ \ \ \text{since} \ \ a, b^{-1} \in K\\ &= e \end{split} \end{equation}

por lo tanto, tenemos $(G, +)$ $a +_{G^n} b^{-1} \in K$ por el subgrupo de prueba.

Por el contrario asumen $K < G^n$ no es abelian y que $(G, +)$ es un subgrupo. Nos muestran que esto se traduce en una contradicción. Pick $K$. Ahora considere el $a, b \in K$. Ahora sin abelianness de $a +_{G^n} b^{-1} = (a_1 + b_1^{-1}, ..., a_n + b_n^{-1})$ no podemos conmutar elementos en el balance $(G, +)$ y por lo tanto no podemos concluir que $a_1 + b_1^{-1} + ... + a_n + b_n^{-1}$ y, por tanto,$a_1 + b_1^{-1} + ... + a_n + b_n^{-1} = e$. Pero desde $a +_{G^n} b^{-1} \not\in K$ es un subgrupo de llegar a una contradicción ya que el $K$. $a +_{G^n} b^{-1} \in K$

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Es la anterior prueba correcta y rigurosa? Hay alguna manera de que pueda hacer la dirección inversa más rigurosa?

Answer 1

Como dicen los comentarios, la declaración solo es válida para$n\geq 2$. Supongamos que tenemos$n\geq 2$. Entonces puedo probar la dirección inversa.

Por el contrario, supongamos que$G$ no es abeliano. Entonces$x+y\neq y+x$ para algunos$x,y\in G$. Tenemos $(x,-x,0,\cdots,0),(y,-y,0,\cdots,0)\in K$. (Aquí usamos la suposición de que$n\geq 2$.) Como$K$ es un subgrupo de$G^{n}$, tenemos$$(x,-x,0,\cdots,0)+(y,-y,0,\cdots,0)=(x+y,-x-y,0,\cdots,0)\in K.$ $ So$x+y-x-y=0$. Entonces$x+y-x=y$, por lo tanto,$x+y=y+x$, contradicción.