Un problema extraño de IN Herstein

Question

Teorema: el número de grupos abelianos no isomórficos de orden$p^n$,$p$ es un número primo igual al número de particiones de$n$

Del teorema anterior implica que el número de grupos abelianos no isomórficos de orden$2^4$ es igual al del orden$3^4$ y así sucesivamente

Eso me parece muy extraño. Cómo es esto posible ¿Por favor explique?

Answer 1

Supongamos que conoce el teorema fundamental de grupos abelianos de generación finita ( https://en.wikipedia.org/wiki/Finitely_generated_abelian_group#Classification )? Esta declaración es una consecuencia directa. Por ejemplo, las particiones de$n=4$ en$4$,$3+1$,$2+2$,$2+1+1$ y$1+1+1+1$ dan los grupos de orden no isomórficos$p^4$:$\mathbb Z_{p^4}$,$\mathbb Z_{p^3}\oplus \mathbb Z_p$,$\mathbb Z_{p^2}\oplus \mathbb Z_{p^2}$,$\mathbb Z_{p^2}\oplus \mathbb Z_p\oplus \mathbb Z_p$ y$\mathbb Z_p\oplus \mathbb Z_p\oplus \mathbb Z_p\oplus \mathbb Z_p$.