integral de$\cos (x+y+z)$ en una esfera

Question

Deje $r>0$$S_r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=r^2\}$.

Mostrar que $$\int_{S_r}\cos x\cos y\cos z\ dS=\int_{S_r}\cos (x+y+z)\ dS$$ y encontrar el valor de las integrales.

Sé que podemos parametrizar $S_r$ y tratar de resolver las integrales a mano o intenta ampliar el integrands utilizando identidades trigonométricas, pero no tuvo éxito en hacerlo.

Estoy pidiendo una sugerencia sobre cómo hacer esto. Por otra parte, hay alguna manera de manejar las integrales sobre las esferas que se trata de "los cosenos y senos" (antes de la parametrización). Lo que quiero decir con esto es que cuando el integrando no se trata de "los cosenos y senos", parametrización de la ayuda a menudo pero en una situación como la de arriba no sé qué hacer.

Answer 1

Tenga en cuenta que$$\eqalign{&\cos x\cos y\cos z\cr &\qquad={1\over4}\bigl(\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)\bigr)\ .\cr}$ $ Ambos enunciados se siguen de la observación de que$$\int_{S_r}\cos\bigl({\bf u}\cdot{\bf x})\>dS=\int_{-r}^r\cos\bigl(|{\bf u}|\>z)\>2\pi r\>dz={4\pi r\over\sqrt{3}}\>\sin\bigl(\sqrt{3}\, r\bigr)\ .$ $ Aquí hemos usado que el área de una esfera entre dos planos paralelos es igual al área cortada por estos planos de la tangente del cilindro a la esfera a lo largo del ecuador correspondiente.

Answer 2

Como una respuesta parcial que puede mostrar la primera ecuación es válida:

En la parte superior de la superficie de la esfera, $$\vec r=\langle x,y,z\rangle=\langle x,y,\sqrt{r^2-x^2-y^2}\rangle$$ Así $$d\vec r=\langle 1,0,\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}\rangle dx+\langle 0,1,\frac{-y}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}\rangle dx$$ Y, a continuación, $$\begin{align}d\vec A&=\pm\langle 1,0,\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}\rangle dx\times\langle 0,1,\frac{-y}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}\rangle dx\\ &=\pm\langle\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}},\frac{y}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}},1\rangle dx\,dy\\ &=\langle\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}},\frac{y}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}},1\rangle dx\,dy\end{align}$$ Porque en la apariencia normal de los puntos hasta aquí. Entonces $$d^2A=\left|\left|d^2\vec A\right|\right|=\frac{r\,dx\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}$$ En la parte inferior de la superficie de la esfera, $$\vec r=\langle x,y,z\rangle=\langle x,y,-\sqrt{r^2-x^2-y^2}\rangle$$ Y podemos trabajar fuera $$d^2A=\left|\left|d^2\vec A\right|\right|=\frac{r\,dx\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}$$ Tal y como estaba en la superficie superior.

Comience con el lado derecho: $$\begin{align}\int\int_{S_r}\cos(x+y+z)d^2A&=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\left[\cos\left(x+y-\sqrt{r^2-x^2-y^2}\right)\right.\\ &+\left.\cos\left(x+y+\sqrt{r^2-x^2-y^2}\right)\right]\frac{r\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}dx\end{align}$$ El exterior de la $(x)$ integral tiene un dominio que es un círculo paralelo a la $yz$-plane y el interior de la integral sólo necesita los dos puntos que tienen el mismo $x$$y$. Ahora podemos ampliar la cosenos utilizando el ángulo de la fórmula de la suma para obtener $$\begin{align}\int\int_{S_r}\cos(x+y+z)d^2A&=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}2\cos(x+y)\cos\left(\sqrt{r^2-x^2-y^2}\right)\frac{r\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}dx\\ &=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\cos(x+y)\cos\left(-\sqrt{r^2-x^2-y^2}\right)\frac{r\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}dx\\ &+\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\cos(x+y)\cos\left(\sqrt{r^2-x^2-y^2}\right)\frac{r\,dy}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}dx\\ &=\int\int_{S_r}\cos(x+y)\cos z\,d^2A\end{align}$$ Vamos a configurar la misma integral con $x$ exterior, $z$ media y $y$ interior: $$\begin{align}\int\int_{S_r}\cos(x+y)\cos z\,d^2A&=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\left[\cos\left(x-\sqrt{r^2-x^2-z^2}\right)\cos z\right.\\ &+\left.\cos\left(x+\sqrt{r^2-x^2-z^2}\right)\cos z\right]\frac{r\,dz}{\sqrt{r^2-x^2-z^2}}dx\\ &=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}2\cos x\cos\left(\sqrt{r^2-x^2-z^2}\right)\cos z\frac{r\,dz}{\sqrt{r^2-x^2-z^2}}dx\\ &=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\cos x\cos\left(-\sqrt{r^2-x^2-z^2}\right)\cos z\frac{r\,dz}{\sqrt{r^2-x^2-z^2}}dx\\ &+\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\cos x\cos\left(\sqrt{r^2-x^2-z^2}\right)\cos z\frac{r\,dz}{\sqrt{r^2-x^2-z^2}}dx\\ &=\int\int_{S_r}\cos x\cos y\cos z\,d^2A\end{align}$$ EDIT: Ahora tenemos que terminar la integral. Comenzamos con la mano derecha y transformar a $$\begin{align}u&=\frac1{\sqrt3}(x+y+z)\\ v&=\frac1{\sqrt6}(-2x+y+z)\\ w&=\frac1{\sqrt2}(z-y)\end{align}$$ Este es sólo un rígido rotación sobre el origen, por lo que $$\begin{align}\int\int_{S_r}\cos(x+y+x)d^2A&=\int\int_{S_r}\cos\left(\sqrt3u\right)d^2A\\ &=\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-u^2}}^{\sqrt{r^2-u^2}}2\cos\left(\sqrt3u\right)\frac{r\,dv}{\sqrt{r^2-u^2-v^2}}du\\ &=\int_{-r}^r\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos\left(\sqrt3u\right)\frac{r\sqrt{r^2-u^2}\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{r^2-u^2}\cos\theta}du\\ &=2\pi r\int_{-r}^r\cos\left(\sqrt3u\right)du\\ &=\frac{2\pi r}{\sqrt3}\left.\sin\left(\sqrt3u\right)\right|_{-r}^r\\ &=\frac{4\pi r}{\sqrt3}\sin\left(\sqrt3r\right)\end{align}$$ EDIT: Lástima que el factor de $\frac r{\sqrt{r^2-u^2-v^2}}$ en el área de elemento destruido mi hermosa solución con las funciones de Bessel y nos dejó con esta prosaica respuesta.