He recibido información importante de Michael Filaseta, con la que podemos responder:
1,2) elija un primer $p$ lo suficientemente grande, poner a $c=p-f(0)$ y considerar el polinomio $F(X)=f(X)+c$, lo que ha $F(0)=p$. Específicamente, si $f(X)=a_nX^n+\ldots+a_0$, mediante la selección de $p>|a_n|+\ldots+|a_1|$ podemos garantizar que $F(X)$ tiene todas sus raíces fuera del círculo unidad, debido a un proceso iterativo de aplicación de la inversa de la desigualdad del triángulo:
$$|F(z)|\geq p-|a_1||z|-\ldots-|a_n||z^n|\geq p-(|a_1|+\ldots+|a_n|)>0,$$
donde hemos utilizado que $|z|\leq1$.
Supongamos $F$ factores $F(X)=g(X)h(X)$; a continuación, $g(0)h(0)=p$ es una factorización de un número primo, así, por ejemplo,$|g(0)|=1$. Por lo tanto, el valor absoluto del producto de las raíces de la $g$ no es mayor que 1 (por Vieta, teniendo en cuenta el coeficiente inicial de $g$). Esto implica que hay al menos una raíz de $g$ dentro de la (cerrado) círculo unidad. Pero las raíces de $g$ provienen de las raíces de $F$, por lo que hemos llegado a una contradicción.
Ahora, como hay infinitos números primos más grandes que $|a_n|+\ldots+|a_1|$, sabemos cómo encontrar un número infinito de $c$ tal que $f+c$ es irreductible.
3) de Hilbert irreductibilidad teorema también respuestas 1), y da el comportamiento asintótico: el polinomio $f+c$ es irreductible para casi todas las $c$. Concretamente, si denotamos $S(f,x):=\sum_{|c|\leq x, f+c\text{ irreducible}}1$
luego tenemos a $$S(f,x)=2x-o(x)$$
(el $2$ $2x$ sólo viene de el hecho de que consideremos $|c|\leq x$, por lo que la densidad se calcula con respecto a $2x$).
De hecho, es posible que el uso de los resultados de cerca de Siegel lema se podría demostrar $S(f,x)=2x-O(\sqrt{x}).$
5) Para polinomios de grado 2 sobre los reales, como ya se ha mencionado, se puede utilizar el signo del discriminante para garantizar la existencia de infinitos $c$, que asintóticamente han
$$\lim \frac{S(f,x)}{2x}=1/2,$$ as (if $a>0$, say) there is a $c_0$ such that if $c<c_0$ then $f+c$ factors, while if $c>c_0$ then $f+c$ es irreductible.
Ahora cada verdadero campo cerrado es elementarily equivalente a los reales, y podemos codificar la condición en la discriminante en primer orden de la lógica, de modo que la misma se aplica a bienes de campos cerrados.
