¿Lo que se llama notación de este sistema?

Question

Así que yo estaba viendo un video de youtube sobre análisis complejo y el profesor escribimos la ecuación en la pizarra:

$e^{i\theta}=e^{i\beta}$

Y entonces él dijo que:

$\theta=\beta+2\pi k$

Para $k\in \Bbb{Z}$

No hay problemas hasta ahora.

Entonces él dice, "o dicho en otras palabras":

$\theta\in\beta+2\pi\Bbb{Z}$

Dos preguntas:

En primer lugar cuál es el nombre de esta notación?

¿Cuál sería la notación similar para el caso de que:

$\theta=ae+b\pi$

Con $a\in\Bbb{Z}$$b\in\Bbb{Z}$?

Quiero escribir:

$\theta\in e\Bbb{Z}+\pi\Bbb{Z}$

Pero yo sé que eso está mal porque $a$ $b$ podría ser diferente enteros.

Answer 1

En general, if $A$ y $B$ son subconjuntos de un conjunto con una estructura de adición, puede escribir $A+B = {a+b \mid a \in A, b \in B}$. Formalmente lo que el profesor escribió es $$\beta + 2\pi \Bbb Z = { \beta + 2\pi n \mid n \in \Bbb Z },$$and what you're proposing is also correct: $$e\Bbb Z + \pi \Bbb Z = {ae+b\pi \mid a,b \in \Bbb Z }.$$The point is precisely that $e\Bbb Z \pi \Bbb Z \neq (e + \pi) \Bbb Z$. No creo que esta notación tiene sin embargo ningún nombre específico.

Answer 2

En realidad, tienes razón: $\theta=ae+b\pi$ para cualquier $a,b\in \mathbf{Z}$ puede ser escrito como $\theta\in \mathbf{Z}e+\mathbf{Z}\pi$. Esta notación significa simplemente que si elegimos cualquier enteros $n,m$ $\mathbf{Z}$ en el espacio primero y segundo, respectivamente, tenemos que $\theta=ne+m\pi$. Tenga en cuenta que esto no requiere $n=m$. No estoy segura de un nombre específico para esta notación, pero a menudo se utiliza en álgebra.