Una desigualdad integral de AMM

Question

Hace poco me encontré con una desigualdad integral que no pude resolver: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \left | \frac{\sin t}{t} \right |^{p} dt \leq \frac{\pi \sqrt{2}}{\sqrt{p}} $$ donde p es un entero positivo mayor que 2. Esta desigualdad proviene de American Mathematical Monthly 1990 97 (8) P.663, pero no hay prueba en el artículo original.

¿Podría ayudarme con este problema? ¡¡Gracias de antemano!!

Answer 1

Si $p=2$ entonces \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\, dx = \pi = \dfrac{\pi\sqrt{2}}{\sqrt{2}}. \end{equation*} Si $p=3$ utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. \begin{gather*} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|^3\, dx = \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^2}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\, dx \le \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^4x}{x^4}\, dx}\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2x}{x^2}\, dx}=\\[2ex] \sqrt{\dfrac{2\pi}{3}}\sqrt{\pi} =\dfrac{\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. \end{gather*} Si $p=2q\ge 4$ pretendemos utilizar la desigualdad de Hausdorff-Young-Beckner. Véase, por ejemplo, A sharpened Hausdorff-Young inequality por Michael Christ en https://arxiv.org/pdf/1406.1210.pdf

Digamos que la transformación de Fourier está definida por \begin{equation*} \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi x\xi}\, dx. \end{equation*} Entonces la desigualdad de Hausdorff-Young-Beckner viene dada por \begin{equation*} \|\hat{f}\|_{L_{q}} \le r^{\frac{1}{2r}}q^{-\frac{1}{2q}}\|f\|_{L_{r}}\tag{1} \end{equation*} donde \begin{equation*} \dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} = 1 \mbox{ and } q \ge 2. \end{equation*} Ahora nos especializamos y elegimos \begin{equation*} f(x) = \pi^{2}\left(\dfrac{1}{\pi}-|x|\right)\left({\rm H}\left(x+\dfrac{1}{\pi}\right)-{\rm H}\left(x-\dfrac{1}{\pi}\right)\right)\ge 0 \end{equation*} donde ${\rm H}$ es la función de Heaviside. Entonces $\displaystyle \hat{f}(\xi) = \dfrac{\sin^2\xi}{\xi^2} \ge 0. $

Volvemos a la desigualdad \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|^p\, dx \le \dfrac{\pi\sqrt{2}}{\sqrt{p}} \tag{2} \end{equation*} donde $p\ge 4$ . Poner $p=2q$ . De (1) obtenemos \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|^p\, dx = \int_{-\infty}^{\infty}\left|\dfrac{\sin \xi}{\xi}\right|^p\, d\xi = \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\xi)|^q\, d\xi \le r^{\frac{q}{2r}}q^{-\frac{1}{2}}\left(\|f\|_{L_{r}}\right)^q .\tag{3} \end{equation*} Encontramos que \begin{equation*} \left(\|f\|_{L_{r}}\right)^q =\left(2\int_0^{1/\pi}\left(\pi^2\left(\dfrac{1}{\pi}-x\right)\right)^r\, dx\right)^{\frac{q}{r}} = 2^{q/r}\dfrac{\pi}{(r+1)^{q/r}} = 2^{q-1}\dfrac{\pi}{(r+1)^{q-1}}. \end{equation*} Seguimos con el lado derecho en (3). \begin{gather*} r^{\frac{q}{2r}}q^{-\frac{1}{2}}\left(\|f\|_{L_{r}}\right)^q = r^{\frac{q-1}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{q}}2^{q-1}\dfrac{\pi}{(r+1)^{q-1}} =\left(\dfrac{2\sqrt{r}}{r+1}\right)^{q-1}\dfrac{\pi\sqrt{2}}{\sqrt{2q}} \end{gather*} Desde \begin{equation*} \dfrac{2\sqrt{r}}{r+1} \le 1 \Leftrightarrow (\sqrt{r}-1)^2 \ge 0. \end{equation*} hemos demostrado (2).

Answer 2

Una prueba para un tamaño suficientemente grande $p$ :

Para $|t|\le\frac\pi2$ es fácil de demostrar $\frac{\sin t}{t}\le e^{-\frac16t^2}$ , basta con considerar la función $\log\frac{\sin t}{t}+\frac16t^2$ y sus derivados.

Entonces $$ \int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin t}{t}\right|^p dt < \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-\frac{p}6t^2} dt + 2\int_{\pi/2}^{\infty} \frac{dt}{t^p} < \frac{\sqrt{6\pi}}{\sqrt{p}} + \frac{2}{(p-1)(\pi/2)^{p-1}}. $$