¿Qué hay de malo en evaluar $\int_{0}^{2\pi} e^{\cos x} \cos (\sin x)\:dx$

Question

Encontrar el valor de $I=\int_{0}^{2\pi} e^{\cos x} \cos (\sin x)\:dx$

Lo he hecho de la siguiente manera:

sabemos que $$\int_{0}^{2a}f(x) dx=2 \int_{0}^{a} f(x)dx$$ si $f(2a-x)=f(x)$

Ahora bien, si $f(x)=e^{\cos x} \cos (\sin x)$ tenemos

$$f(2\pi-x)=f(x)$$

por lo que $$I=2\int_{0}^{\pi} e^{\cos x} \cos (\sin x)\:dx=2 \times Re\left\{\int_{0}^{\pi} e^{e^{ix}}dx\right\}$$

Ahora dejemos que

$$J=\int_{0}^{\pi} e^{e^{ix}}dx$$

Poner $e^{ix}=t$ Entonces los límites cambiarán a $-1$ y $1$ También $$e^{ix} i dx=dt$$

así que

$$dx=\frac{dt}{it}$$

Así que

$$J=i \times \int_{-1}^{1}\frac{e^t \:dt}{t}$$

Así que $J$ es puramente imaginario y por lo tanto $I=0$

¿Puedo saber qué ha fallado en mi solución?

Answer 1

El error es mencionado por @user296602 y @Fred. A continuación se muestra una forma correcta de resolverlo.

Considere $$f:z\mapsto \frac{e^z}{z}$$ Para $0<\epsilon<1$ tenemos $$0=\int_\epsilon^1\frac{e^x}{x}dx+\int_0^{\pi}\frac{e^{e^{it}}}{e^{it}}ie^{it}dt+\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{e^x}{x}dx+\int_{\pi}^0\frac{e^{\epsilon e^{it}}}{\epsilon e^{it}}i\epsilon e^{it}dt$$ Como $\epsilon\to 0$ , $$\int_0^{\pi}{e^{e^{it}}}dt=\int_0^{\pi}dt+i\int_0^1\frac{e^x-e^{-x}}{x}dx$$ Así, $$\operatorname {Re}(J)=\pi$$

Answer 2

Dejemos que $t(x)=e^{ix}$ para $x \in I:=[0, \pi]$ .

Usted ha asumido que $t(I)=[-1,1]$ pero esto es un error.

Tenemos $t(I)=\{z \in \mathbb C: |z|=1, Im(z) \ge 0\}$ (un "medio círculo").

Answer 3

Este es un enfoque que evita por completo el análisis complejo.

Dejemos que $$I(\theta) = \int_0^{2\pi} e^{\theta \cos x} \cos (\theta \sin x) \, dx, \quad \theta \in \mathbb{R}$$ Observe que $I(0) = 2\pi$ .

Ahora usando el truco de Feynman de diferenciar el signo de la integral con respecto al parámetro $\theta$ tenemos $$I'(\theta) = \int_0^{2\pi} \frac{\partial}{\partial \theta} \left [e^{\theta \cos x} \cos (\theta \sin x) \right ] \, dx. \tag1$$ Observando que $$\frac{\partial}{\partial \theta} \left [e^{\theta \cos x} \cos (\theta \sin x) \right ] = \frac{1}{\theta} \frac{\partial}{\partial x} \left [e^{\theta \cos x} \sin (\theta \sin x) \right ],$$ (1) se convierte en $$I'(\theta) = \frac{1}{\theta} \int_0^{2\pi} \frac{\partial}{\partial x} \left [e^{\theta \cos x} \sin (\theta \sin x) \right ] \, dx = \frac{1}{\theta} \left [e^{\theta \cos x} \cos (\theta \sin x) \right ]_{x = 0}^{x = 2\pi} = 0.$$ Así, $I(\theta) = K$ donde $K$ es una constante y se puede encontrar a partir de $I(0) = 2\pi$ . Así, $$I(\theta) = \int_0^{2\pi} e^{\theta \cos x} \cos (\theta \sin x) \, dx = 2\pi.$$ Configurar $\theta = 1$ devuelve la integral que buscamos, es decir $$I(1) = \int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos (\sin x) \, dx = 2\pi.$$