Determinante de una matriz después de cambios

Question

Si $\det \begin{pmatrix}a&1&d\ b&1&e\ c&1&f\end{pmatrix}=1$ y $\det \begin{pmatrix}a&1&d\ b&2&e\ c&3&f\end{pmatrix}=1$, ¿qué es $\det \begin{pmatrix}a&-4&d\ b&-5&e\ c&-6&f\end{pmatrix}$?

Así que estoy consciente de todas las operaciones y lo que traen cambios en el valor del determinante, pero no exactamente seguro que uno de ellos se aplica aquí. Hay ninguna multiplicación constante o una suma o resta de una fila. He intentado sumar y restar varios múltiplos de las matrices de uno así pero no cualquier éxito. Creo que no estoy manchado algo.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Por la multilinearity del determinante, $$ \begin{aligned} & \begin{vmatrix}a&-4&d\ b&-5&e\ c&-6&f\end{vmatrix} \ & =\begin{vmatrix}a&-1&d\ b&-2&e\ c&-3&f\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&-3&d\ b&-3&e\ c&-3&f\end{vmatrix} \ & =\begin{vmatrix}a&1&d\ b&2&e\ c&3&f\end-{vmatrix}-3\begin{vmatrix}a&1&d\ b&1&e\ c&1&f\end{vmatrix} \ & =-3(1)-1 =-4. \end{aligned} $$