Esta es una pregunta por pura curiosidad, motivada por esta publicación . Aquí he comprobado que si un $\mathbb{R}$ -variable aleatoria valorada $X$ tiene finito $4$ -momento y $E[X^2]=E[X^3]=E[X^4]$ entonces $X$ es una variable aleatoria Bernoulli. De hecho, esto se deduce al observar que
$$ E[X^2(1-X)^2] = E[X^4] - 2E[X^3] + E[X^2] = 0 $$
y por lo tanto $X(1-X) = 0$ a.s., es decir $P(X \in \{0, 1\}) = 1$ .
Por lo tanto, podemos preguntarnos si se puede flexibilizar el requisito, formulando la siguiente pregunta.
Pregunta. Si un $\mathbb{R}$ -variable aleatoria valorada $X$ satisface $E[X] = E[X^2] = E[X^3]$ ¿se deduce entonces que $X$ tiene una variable aleatoria Bernoulli? Es decir,. $P(X = 0 \text{ or } 1) = 1$ ?
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Observe que hay ejemplos de $X$ donde $E[X] = E[X^2]$ pero $X$ no tiene una distribución Bernoulli. (Por ejemplo, dejemos que $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$ y establecer $X = \frac{1}{2}(1+Z)$ .) Por lo tanto, la condición del tercer momento no puede ser eliminada.
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Si $X$ satisface la condición dada, también lo hace $1-X$ .
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Si asumimos $X \geq 0$ entonces la respuesta es sí, ya que $X(X-1)^2 \geq 0$ y $E[X(X-1)^2] = 0$ .
He intentado crear una variable aleatoria discreta (distinta de las v.r. Bernoulli) que satisfaga la condición, pero este enfoque no ha tenido éxito hasta ahora. Y para ser honesto no estoy seguro de si esto será cierto o no.
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He aquí una forma sistemática de encontrar un ejemplo de este tipo. Consideremos una variable aleatoria normal $Z$ con la media $a$ y la varianza $\sigma^2$ . Para satisfacer sus limitaciones, usted quiere $a=\sigma^2+a^2=3a\sigma^2+a^3$ . Resolver estas ecuaciones equivale básicamente a resolver una ecuación cuadrática. La respuesta única viene dada por $a=\sigma=1/2$ .
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@Shalop, Gracias por el comentario. Realmente me enseña que debo jugar con ejemplos conocidos primero.