¿Cuando un grupo $G$ es isomorfo a $(G/N) \times N$?

Question

Deje $G$ referirse a un grupo y $N$ denotar un subgrupo normal de los mismos. Entonces siempre hay un bijection $G \rightarrow (G/N) \times N$, debido al hecho de que $G$ $(G/N) \times N$ tienen la misma cardinalidad. Sin embargo, estos grupos que por lo general no son isomorfos. Por ejemplo, si $G = \mathbb{Z}/4$$N = \mathbb{Z}/2$,$(G/N) \times N$$\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$, que no es isomorphc a $\mathbb{Z}/4.$

A veces, sin embargo son isomorfos. Por ejemplo, si $G$ es un finitely generado abelian grupo y $N$ es su subgrupo de torsión de los elementos, a continuación, una forma débil de la estructura teorema de finitely generado abelian grupos dice que $G$ es isomorfo a $(G/N) \times N$.

Pregunta. Para los que normal subgrupos $N$ es esto cierto?

Answer 1

Una respuesta trivial que el subgrupo normal $N$ parte apagado como un factor directo de $G$: $$ G = N\times Q$ $ para algunos subgrupo $Q

Editar. Está claro eso si $G=G_1\times G_2$ y $G/G_1\cong G_2$, el isomorfismo viene dado por el mapa $G_1\times g_2 \mapsto g_2$.

Answer 2

Como Arthur menciona en un comentario, siempre hay un grupo homomorphism $p:G\to N$ cuya restricción a $N$ es la identidad, entonces, $G$ es isomorfo a $N\ltimes \ker(p)$, donde la acción de $N$ $\ker(p)$ está dado por la conjugación en $G$. Pero si $N$ es asumido como normal, entonces esta acción es realmente trivial, y por lo tanto $G$ realidad es isomorfo a $N\times\ker(p)$. De hecho, en ese caso, para cada $n\in N$ $k\in \ker(p)$ tenemos $nkn^{-1}k^{-1}\in N$, y por lo tanto $$nkn^{-1}k^{-1}=p(nkn^{-1}k^{-1})=nn^{-1}=1,$$ lo que significa que $nkn^{-1}=k$.

Por lo que una posible respuesta a tu pregunta es que no es un isomorfismo si y sólo si $N$ es un retractarse de $G$.