¿Es el número imaginario realmente incomparable?

Question

¿Si realmente no sabemos que es más grande si $ i $ es mayor o $ 2i $ más o menos por entonces por qué no tenemos parcela $ i $ primero luego $ 2i $ y así sucesivamente, en el eje imaginario de la Argand plano? Mi Maestro dice que los números imaginario son sólo puntos y todos son sin dimensiones son incomparables y la distancia no importa. Quiero tener esto más claro

Answer 1

1. No hay ninguna forma de orden de los números complejos, de una manera que preserva las operaciones de una manera sensible. El término preciso es ordenó campo; entre sus propiedades, $x^2 \ge 0$ for every $x$. Since $i^2=-1$, we would need $-1\ge 0$, lo cual es imposible.

2. Sin embargo, si se desea medir la distancia, usted puede hacer eso con una norma. En los números complejos, este se calcula como:$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$. Por lo tanto, es correcto decir que el $2i$ es dos veces más lejos del origen como $i$ es.

Answer 2

Hay una buena razón para evitar que la definición de "orden" como $i > -i$, o cualquier comparaciones similares, incluso si usted no se preocupan por ordenó campos. Que es que no hay manera de distinguir entre la $i$$-i$, a excepción de los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. $i$ se define como una solución de $x^2 +1 = 0$. Pero hay dos soluciones, así que, ¿cómo decidir cuál se obtiene el privilegio más grande que el otro?

Si usted toma cualquier frase en el idioma de los números complejos en los que $i$ se produce, y reemplazarlo por todas partes con $-i$, entonces la verdad de la frase no cambia. Que ya no es cierto si se introduce definiciones como $i > -i$.

Answer 3

1. Dibujamos $i$ $2i$ y así sucesivamente puramente por la convención (y tal vez de que nuestros cerebros están familiarizados para trabajar con números de pequeñas magnitudes más grandes magnitudes). En la pantalla de un ordenador, por ejemplo, $2i$ menor $y$ coordenadas de $i$ y por lo tanto se traza primero.

2. No hay ninguna forma de imposición de un orden total en $\mathbb C$ que le daría la misma agradable propiedades como uno en $\mathbb R$, por ejemplo, habiendo $x^2 \geq 0$ todos los $x$, no es posible.

3. Usted puede comparar las magnitudes de los números complejos. Es decir, sus valores absolutos. La distancia en este caso no importa, porque la distancia es un número real y es comparable. Es sólo que los puntos complejos en sí mismos no son comparables.

Answer 4

Únicamente los números imaginarios, los que con parte real cero, es decir, $z = bi$ (donde $b$ es un real), es trivial para establecer un orden: basta con pensar en la imaginaria y comparar los como reales. Eso es lo que hacemos de forma implícita cuando se dibuja el eje imaginario o la elección de la "$y$" coordinar al trazar los números complejos en un plano.

Para los números complejos en general: $z = a+bi$, donde ambos se $a$ $b$ puede ser distinto de cero, no hay una clara orden. E. g. cualquier pedido entre todos los cuatro de $(\pm 1 \pm i)$ sería arbitraria.

Answer 5

En un ordenado campo, puede resultar que $x^2 \geq 0$. En $\mathbb{C}$, tenemos $i^2=-1