¿Por qué estas ecuaciones son iguales?

Question

He tratado en mi cerebro a la muerte tratando de entender cómo estas dos ecuaciones son iguales:

$$\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots$$

como se encuentra en http://www.math.dartmouth.edu/archive/m68f03/public_html/partitions.pdf

De lo que entiendo que si el sustituto $5$ $q$ la respuesta:

$$\frac{1}{1-5} = -\frac{1}{4}$$

es muy diferente:

$$1+5+25+125+\cdots$$

Cualquier ayuda para entender lo que está pasando, sería muy apreciado. Gracias a todos por su tiempo

Answer 1

$S=1+q+q^2+\dots$

Para cualquier $k\in \mathbf{N}$,

Que $S_k=1+q+q^2+\dots+q^k$,

Entonces, $qS_k=q+q^2+q^3+\dots+q^{k+1}$.

Así, $(1-q)S_k=S_k-qS_k=1+q+q^2+\dots+q^k-(q+q^2+q^3+\dots+q^{k+1})=1-q^{k+1}$

Si $|q|

$$S=\lim_{k \to \infty}Sk=\lim{k \to \infty}\frac{1-q^{k+1}}{1-q} =\frac{1}{1-q}$$

Sin embargo, que la función $$f(x)=\frac{1}{1-x}$$ is valid for all $x # \neq 1$. But, $f(x) = 1+x+x^2+\dots$ only for $|x|

Answer 2

Una cosa acerca de las funciones y el poder de la serie es que no siempre son iguales cuando se evaluó en cualquier lugar en el plano complejo. En general, dada una potencia de serie de la representación de una función, no sólo converge en todo dentro de un determinado radio de $|z|<r$ y no hay necesidad de converger fuera de ella. Dentro de este radio aunque la potencia de la serie representación de un holomorphic función debe trabajar. (Y, más en general, podemos definir una serie de $\sum c_n(z-a)^n$ alrededor de otros puntos de $z=a$ cuyo regiones de convergencia son diversos círculos o eje de abscisas en el plano complejo.)

En particular, la fórmula de la suma geométrica $\displaystyle\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots$ sólo tiene por $|z|<1$. Este es probablemente el más básico de la generación de la función no existe. La fórmula puede ser comprobada mediante el análisis de lo finito versión de la fórmula para las sumas parciales y dejando que el número de términos que tienden a infinito.

A veces es útil, aunque para tratar de generar funciones como formal de alimentación de la serie de $\Bbb C[[x]]$. En este contexto, no tratamos de energía, como la serie de funciones a todos: tan sólo tenemos que pensar en ellos como infinito polinomios. Por lo tanto, incluso cosas como $\sum n!z^n$ sentido como poder formal de la serie. El anillo de $\Bbb C[[x]]$ puede ser definido de manera formal y rigurosa, utilizando técnicas de álgebra abstracta y la topología. (Las palabras clave aquí son "terminación" y "$I$-ádico de topología.")

Answer 3

La suma en el lado derecho de la ecuación es una serie geométrica infinita, cuya suma es $\frac {1}{1-q}$ sólo si el $|q|$ es menos de 1. Por lo tanto, tu ejemplo de $q=5$ no es válido.

Answer 4

Para ver por qué se podría pensar que esta ecuación era verdad $q$, acabo de hacer la división larga de $1-q$ $1$