¿Hay alguna solución de la ecuación diferente $x=2$? Por favor, ayúdame. Gracias de antemano.
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Arash
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La primera cosa importante a considerar es que, al $\cos a$ o $\sin a$ son negativos la exponenciación debe hacerse con cuidado, porque es, en general, de varios valores. Por ejemplo, si $\cos a=-1$, entonces : $$ (-1)^x=e^{i(2k+1)\pi\, x}. $$ En este caso, tenemos un multi-expresión de valores, dando diferentes valores para todos los $k\in\mathbb Z$. Sin embargo siempre podemos tomar un general$m$$n$, no necesariamente igual, para los cuales tenemos: $$ \cos a=|\cos a|e^{im\pi}\,\,\,\,\texto{ y }\,\,\,\, \pecado=|\pecado a|e^{\pi}. $$ De manera que la ecuación es equivalente a encontrar $x$ tal que para algunos $m,n\in\mathbb Z$, tenemos: $$ |\cos a|^xe^{imx\pi}+|\pecado a|^xe^{inx\pi}=1. $$ Tomando la norma de ambos lados y usando la desigualdad de triángulo, podemos ver que : $$ |\cos a|^x+|\pecado a|^x\geq 1. $$ Si $|\cos a|$ $\sin a$ son tanto de carácter estrictamente positiva, la función es estrictamente creciente y por lo tanto la respuesta es sólo $x=2$. Sin embargo, si uno de ellos es cero y, por tanto, el otro es uno, la desigualdad también se mantiene. Así que tenemos que revisar los casos en que $|\cos a |=1$ o $|\sin a|=1$.
Al $\cos a=1$ o $\sin a =1$ $x\in\mathbb R$ es una respuesta.
Al $\cos a=-1$ o $\sin a=-1$, entonces tenemos: $$ (-1)^x=1\implica e^{(2p+1)\pi x i}=1\implica (2p+1)\pi x=2t\pi, $$ así que todos los $x=\frac{2q}{2p+1}$ son respuestas para $p,q\in\mathbb Z$.
