Subgrupos de orden $5$ en grupo icosaédrico

Question

Deje $G$ denotar la orientación de la preservación de isometrías de Icosaedro. Quiero mostrar la siguiente con el grupo de teoría de las nociones:

Deje $N\leq G$ ser un subgrupo con el fin de $5.$ Demostrar que es un estabilizador de un vértice $v$ en el Icosaedro.

Aquí está mi idea hasta ahora:

Sé $|G|=60$. Por Lagrange del teorema, el índice de $N$, $$[G:N]=\frac{60}{|N|}=\frac{60}{5}=12=|V|,$$ donde $V$ denota el conjunto de vértices del Icosaedro. Esto significa que hay un bijection de $$G/N\to V.$$ Thus, every left coset $gN$ can be identified with a unique vertex $v\en V.$ Since the action of $G$ on $V$ es transitiva (me lo han demostrado), la reivindicación de la siguiente manera.

¿Cómo funciona esta prueba? No estoy muy seguro de si este argumento funciona. Por favor, ayudarme a mejorar esta la prueba!

Answer 1

Algunas cosas a considerar:

• ¿Qué aspecto tiene el estabilizador del vértice $v$?
• $N$ tiene orden $5$, así que ¿qué tipo de grupo es?
• Considerar los isometries del icosaedro y considerar cuáles posiblemente podrían generar $N$.

Answer 2

Un ataque es utilizar las propiedades de la preservación de orientación ortogonal transformación lineal de $\Bbb{R}^3$. Aquellos que tienen (suponiendo que el centro de la icosaedro está en el origen) de las matrices de determinante $1$, de forma que su transpuesta es también su inverso.

Un grupo de orden $5$ es necesariamente cíclico. El generador de $g$ de un grupo cíclico $\langle g\rangle=C_5\le SO(3)$ es una transformación ortogonal del espacio de 3 dimensiones.

Demostrar que $g$ tiene un eje en $\Bbb{R}^3$. Este es el subespacio propio pertenecientes al autovalor $1$. Observe que el eje es compartida por todos los poderes de $g$.

Observar que el punto de intersección de la superficie de la icosaedro y que el eje es un punto fijo para $\langle g\rangle$. Observar que sólo un vértice de trabajo.