En un entramado, ¿ $x \vee y \leq x\vee z$ y $x \wedge y \leq x\wedge z$ implica $y\leq z$ ?

Question

Dejemos que $L$ sea un entramado y $x,y,z\in L$ .

Si $y \leq z$ entonces claramente $x\vee y \leq x\vee z$ y $x\wedge y \leq x\wedge z$ .

Ahora me pregunto sobre el sentido inverso. En general, $x\vee y \leq x\vee z$ no implica $y \leq z$ (por ejemplo $x = 1$ en una red con 1). Tampoco $x\wedge y \leq x\wedge z$ .

Pero, ¿qué hay de tomar ambas condiciones juntas? ¿Acaso $x \vee y \leq x\vee z$ y $x \wedge y \leq x\wedge z$ juntos implican $y\leq z$ ?

Mi impresión es que la respuesta debería ser "sí", pero hasta ahora no he conseguido demostrarlo con rigor.

Si es necesario, podemos suponer que la red considerada es modular.

Answer 1

La respuesta es no. Como contraejemplo, tomemos $N_5 = \{a,b,b',c,d\}$ con $a<b<b'<d$ y $a<c<d$ . Tenemos $d = c \vee b' \leq c \vee b = d$ y $a = c \wedge b' \leq c \wedge b = a$ pero $b' > b$ .

En realidad, la condición que has expuesto parece ser equivalente a la distributividad (y, por tanto, implica la modularidad). $N_5$ no es distributiva, de ahí el contraejemplo.