Utilice un argumento de inducción para demostrar que cualquier número natural $n$, el intervalo de $(n,n+1)$ no contiene ningún número natural.

Question

El uso de una inducción argumento para demostrar que para cualquier número natural $n$, el intervalo de $(n,n+1)$ no contiene ningún número natural.

No sé de donde me podría ir con una inducción argumento. Yo estaba pensando en probar que si $s\in (n,n+1)$ donde $s$ es un número natural, entonces $s-n$ es un número natural que se encuentra en $(0,1)$, lo cual es imposible ya que todos los números naturales son limitados a continuación por $1$.

Sin embargo, esto supone que los números naturales son cerrado bajo la suma. También, esto no hace uso de la inducción.

Alguna sugerencia para esta pregunta?

Answer 1

1. Cada número natural con la excepción de $0$ es el sucesor de un número natural. La prueba es por inducción: la declaración es vacuously cierto para $0$; y si se mantiene por $n$, que tiene de $n+1$.

2. Cada número natural es $\ge 0$. De nuevo, por inducción: true para $0$, y si $n\ge 0$,$n+1\ge 0+1 > 0$.

Ahora supongamos $q$ es un número natural estrictamente entre el$0$$1$. Desde $q$ no es cero, es el sucesor de algún número natural $q'$ (1.) que es $\ge 0$ (2.). Pero $q'\ge 0$ implica que el $q=q'+1\ge 0+1=1$, lo que contradice la suposición de que $q<1$. Por lo tanto, no hay ningún número natural entre el$0$$1$.

Finalmente,

3. Para cualquier número natural $n$, no hay ningún número natural entre el$n$$n+1$. Hemos demostrado en el caso base ($n=0$). Y si hay un número natural $q$$n+1$$n+2$, entonces sería el sucesor de algunos $q'$ (1.), y que $q'$ tendría que estar entre $n$$n+1$, porque si $q'\le n$$q=q'+1\le n+1$, y si $q'\ge n+1$$q=q'+1\ge n+2$. Por lo tanto, si la instrucción tiene por $n$, que tiene de $n+1$.

Answer 2

Sugerencia:

Si no hay $a\in \mathbb{N}$ $(n,n+1)$ entonces considerar $(n+1, n+2)$. Si allí donde un número natural, $b$, $(n+1, n+2)$ allí sería ser un número natural en $(n,n+1)$ $b-1$ es también un número natural, pero esto es falso por hipótesis.

Answer 3

Suposiciones $(\forall n \in \mathbb N)(\exists k \in \mathbb N)$:

• (1) $k \ne n $
• (2) $k \ne n+1 $
• (3) $\exists y \in \mathbb N ~:~ n + y = k $
• (4) $\exists z \in \mathbb N ~:~ k + z = n + 1 $

Algunos lemas para la obtención de préstamos (tendría que ser inductiva establecido mediante axiomas de peano y la definición de las $+$):

• (5) la Suma es conmutativa/asociativo
• (6) Además es inyectiva : $a + x = b + x \implies a = b$
• (7) a Cada número natural es cualquiera de las $0$ o tiene un número natural predecesor
• (8) el Cero no tiene predecesor

Su tarea es demostrar que el de arriba es inconsistente.

Comenzando con (3) y (4):

$$(\exists y \in \mathbb N ~:~ n + y = k )\land (\exists z \in \mathbb N ~:~ k + z = n + 1 )$$ $$(\exists y \in \mathbb N ~:~ n + y + 1 = k + 1) \land (\exists z \in \mathbb N ~:~ k + z = n + 1 )$$

Aplicar (5)

$$(\exists y \in \mathbb N ~:~ n + 1 + y = k + 1) \land (\exists z \in \mathbb N ~:~ k + z = n + 1 )$$ $$\exists y,z \in \mathbb N ~:~ (n + 1 + y = k + 1 \land k + z = n + 1 )$$ $$\exists y,z \in \mathbb N ~:~ (k + z + y = k + 1)$$

Aplicar (5)

$$\exists y,z \in \mathbb N ~:~ (z + y + k = 1 + k)$$

Aplicar (6)

$$\exists y,z \in \mathbb N ~:~ (z + y = 1)$$

Ahora el problema se reduce a establecer que (sobre números naturales) $z + y = 1 \implies z = 0 \lor y = 0$ . Asumir por el bien de la contradicción que $z \ne 0$$y \ne 0$, luego por (7)

$$p(z) + 1 + p(y) + 1 = 1$$ $$p(z) + p(y) + 1 = 0$$

Lo que contradice (8). Por lo $z = 0$ o $y = 0$. Sin embargo, el primer contradicciones (2) y el segundo contradice (1).

Answer 4

Me estoy perdiendo real de rompecabezas en la pregunta cuando digo lo siguiente: Primer paso en la inducción, es para mostrar que se tiene para $n_{0}$ y en este caso es obvio que es para $n_{1}=1$ el segundo paso es asumir la hipótesis de que en la mano tiene para$n_{k}$, y el último paso es usar el segundo paso para mostrar que debe soportar para $n_{k+1}$. Así que asumir que no se sostiene por $k+1$ entonces existe un número natural $s\in(k+1,k+2) $, esto le da a la deseada contradicción ya que el $s-1\in(k,k+1) $ $n_{k}$ no posee. A continuación, $(0,1)$ no contener cualquier número natural puede ser indicado por separado.

La esperanza no estoy robando a nadie del tiempo que falta el punto.

Answer 5

Usted debe saber lo siguiente:

$\mathbb{Z}$ es un "bien ordenada" ordenó anillo. Aquí, bien ordenada significa que todos los no-vacío subconjunto acotado por debajo de lo mínimo.

Cualquier definición que está utilizando, usted debe caer en el anterior hecho.

A partir de eso, podemos demostrar el siguiente:

La proposición: no Hay ningún número natural $x$ tal que $0 < x <1$.

Prueba: Tome el conjunto $A:=\{n \in \mathbb{Z} \mid 0< n<1\}$. Suponiendo que esto no está vacío, tendríamos un delimitada por debajo de vacío subconjunto. Por lo tanto, tiene un mínimo de $m$. Pero $0 < m² <m<1$, una contradicción con el hecho de que $m$ es el mínimo de $A$.

La inducción es como los demás (y usted también), señaló.

Podía evitar hablar de números enteros, y la estancia en $\mathbb{N}$. Pero la notación concisa diciendo las propiedades que $\mathbb{N}$ debe satisfacer como una estructura algebraica sería demasiado engorroso, creo. (Tal vez no... la definición de algo como un "ordenado monoid", pero con dos operaciones, etc, etc.)