Me gustaría saber si existe una sencilla fórmula o método de la expansión de la expresión dada por
$\left[g(x) \frac{d}{dx}\right]^n g(x)$
donde $n$ es un entero positivo, sin tener que recurrir a en realidad llevar a cabo la diferenciación. El objetivo es como que de la expansión de $(x + y)^n$. Para esto, no es un simple la fórmula (va como la combinación de $n$$r$) para la obtención de cada numérico coeficiente de cada término en la expansión de simplemente se escribe sin la necesidad de llevar a cabo la la multiplicación. Lo mismo se puede utilizar simplemente el triángulo de Pascal.
Intento de solución
Ignorando el numéricos de los coeficientes, uno puede simplemente ampliar la la expresión anterior con Ferrer del diagrama. Tomemos, por ejemplo, $n = 4$. El conjunto correspondiente de Ferrer diagramas es
$ \begin{align*} \begin{array}[t]{l} \bigcirc\\ \bigcirc\\ \bigcirc\\ \bigcirc \end{array} \qquad \begin{array}[t]{ll} \bigcirc & \bigcirc\\ \bigcirc\\ \bigcirc\\ \end{array} \qquad \begin{array}[t]{ll} \bigcirc & \bigcirc\\ \bigcirc & \bigcirc \end{array} \qquad \begin{array}[t]{lll} \bigcirc & \bigcirc &\bigcirc\\ \bigcirc \end{array} \qquad \begin{array}[t]{llll} \bigcirc & \bigcirc &\bigcirc&\bigcirc \end{array} \end{align*} $
El número de columnas de cada Ferrer del diagrama corresponde el número de $g$ (o sus derivados) factores más uno para cada término de la expansión. Por lo tanto, la expansión de $n = 4$ toma la forma
$\left[g(x) \frac{d}{dx} \right)^{n=4}g(x) : ( )( ) + ( )( )( ) + ( )( )( ) + ( )( )( )( ) + ( )( )( )( )( ) $
La longitud de cada columna para un determinado Ferrer diagrama corresponde a la orden de los derivados. A continuación, podemos mejorar la esquemático de la relación anterior como
$ \begin{align*} \left[g(x) \frac{d}{dx}\right]^{n=4}g(x) &: (g'''')( ) + (g''')(g' )( ) + (g'')(g'')( ) + (g'')(g')(g')( ) + (g')(g')(g')(g')( ) \\ &= g''''() + g'''g'() + g''^2() + g''g'^2() + g'^4() \end{align*} $
El resto de factor de llenar (se) es $g$ a un cierto poder. Para cada término, el exponente es simplemente la suma de los órdenes de las derivadas de cada uno de los factores menos el número de factores con los derivados de más de 1. Por ejemplo, para $g'''g'( )$, la suma de los pedidos de los derivados es de 4 (sólo contar el número de números primos) y el número de factores con derivados es de 2. Como tal, $g'''g'() = g'''g'g^{4 - 2 + 1} = g'''g'g^3$. Del mismo modo, $g''g'^2( ) = g''g'^2g^{4 - 3 + 1} = g''g'^2g^2$ entonces, Uno puede simplemente escribir (ignorando el numéricos de los coeficientes) la ampliación de la
$ \begin{align*} \left[g(x) \frac{d}{dx} \right]^{n=4}g(x) &: g''''g^4 + g'''g'g^3 + g''^2g^3 + g''g'^2g^2 + g'^4g \end{align*} $
El problema ahora es el coeficiente de cada término en el la expansión. La secuencia de coeficientes es en realidad número de secuencia A145271 (OEIS). Para $n = 4$, esta secuencia es, simplemente,$\{1, 7, 4, 11, 1\}$, de modo que
$ \begin{align*} \left[g(x) \frac{d}{dx} \right]^{n=4}g(x) &= g''''g^4 + 7g'''g'g^3 + 4g''^2g^3 + 11g''g'^2g^2 + g'^4g \end{align*} $
pero no puedo encontrar un procedimiento simple para reproducir esta secuencia sin, de hecho, la expansión de la expresión original anterior a través de la diferenciación; por lo tanto, este post. Cualquier método de diagrama, la forma cerrada de la expresión o una instrucción nula (por ejemplo,., tal la forma cerrada de expresión no existe) sería muy apreciado.
[Nota: yo no soy un matemático y no es muy familiar con el área de la Combinatoria. Me encontré con este problema al intentar resolver una ecuación diferencial en la física.]
