Cuando se invoca el axioma de elección, es porque lo que usted necesita para elegir compone de pequeñas piezas que técnicamente tiene que elegir uno por uno. Así que si tengo que usar el axioma de elección, pero posteriormente demostrar que no importa lo que elija, el resultado final es el mismo, ¿hay realmente una necesidad de que el axioma de elección?
Aquí es donde me topé con la pregunta: Se tiene un conjunto de abelian grupos $G_i$ cada uno con un determinado subgrupo $H_i$, $i\in I$ para un conjunto de índices $I$. Demostrar que el siguiente isomorfismo se tiene: $$ \prod_{i\in I}\left(G_i/H_i\right) \approx\left(\prod_{i\in I}G_i\right)/\left(\prod_{i\in I}H_i\right). $$ Y aquí está mi prueba:
Un elemento en $g\in \prod_{i\in I}\left(G_i/H_i\right)$ es administrado por un (posiblemente infinita) tupla de elementos de cada grupo cociente. Cada coordenada en la tupla es representado por un elemento $g_i$ en el correspondiente $G_i$, lo que significa que podemos utilizar los representantes de un elemento en $\prod_{i\in I}G_i$ (esto requiere el axioma de elección si $I$ es lo suficientemente grande).
Ahora bien, la diferencia entre cualesquiera dos de estos elementos es una tupla en $\prod_{i\in I}H_i$, así que al final lo elección que hacemos, no importa, cualquier elección va a dar el mismo elemento en el final cociente grupo. Pero que todavía se usa el axioma de demostrar que un representante existido, por lo que mi intuición me dice que este necesita el axioma de elección, aunque no estoy seguro.
Yo uso la palabra "tupla" aquí, porque eso es lo que yo pienso directa de productos. Representa el producto como una función de un conjunto de índices en la inconexión de la unión (que es la forma correcta) dará una completamente análogo razonamiento.
