Cualquier idea cómo atacar este % integral $\int_0^{\infty} p^2 e^{-\beta\sqrt{p^2+1}} \, dp$

Question

Necesito hacer esta integral:

$\int_0^{\infty} p^2 e^{-\beta\sqrt{p^2+1}} \, dp$

($\beta > 0$)

Cualquier técnica de cómo hacer esta integral? (al parecer no es posible en la forma cerrada) o al menos producir el resultado como una rápida convergencia de la serie.

Estrechamente relacionados con la fórmula (sólo una Gaussiana integral):

$\int_0^{\infty} p^2 e^{-\beta p^2 } \, dp = \frac{\sqrt{\pi }}{4 \beta ^{3/2}}$

y por otro lado:

$\int_0^{\infty} p^2 e^{-\beta p } \, dp = \frac{2}{\beta^3}$

Progreso 1: Así, la intuición nos dice que, para $\beta\to 0$ la integral se comporta como $\beta^{-3}$$\beta\to\infty$$\beta^{-3/2}$.

Avance 2: A partir de textos relacionados en el campo me estoy haciendo la sugerencia de que tal vez expressable en términos de una función Bessel modificada $K_2$.

Progreso 3 (solución): A partir de la experimentación con funciones de Bessel me sale que

$\int_0^{\infty} p^2 e^{-\beta\sqrt{p^2+1}} \, dp = K_2(\beta)/\beta$

Voy a aceptar una respuesta con la derivación

Answer 1

Sustituto $p=\sinh{t}$ y obtener la integral es igual a

$$\int_0^{\infty} dt \, \left ( \cosh^3{t}-\cosh{t}\right) e^{-\beta \cosh{t}}$$

Usar el hecho de que

$$K_1(\beta) = \int_0^{\infty} dt \, \cosh{t}\, e^{-\beta \cosh{t}}$$

y las relaciones de recurrencia de Bessels modificados; Obtener el valor de la integral

$$K_1''(\beta)-K_1(\beta) = \frac14 [K_3(\beta)- K_1(\beta)]$$