correlación entre $\sum_{i=1}^{98}X_i$ y $\sum_{i=3}^{100}X_i$

Question

Que $X1,...,X{100}$ ser iid $N(0,1)$ variables aleatorias. La correlación entre $\sum\limits_{i=1}^{98}Xi$y $\sum\limits{i=3}^{100}X_i$ es igual a

(A) $0$(B) $\dfrac{96}{98}$ C $\dfrac{98}{100}$ (D) 1

Mis pasos: $96$ de estas variables de $98$ de cada serie tienen el mismo valor. Por lo tanto, B debe ser la opción correcta.

¿Solucionarlo correctamente? Por favor ayudarme a confirmar mi solución.

Answer 1

(B) es correcta y aquí es una demostración formal.

Voy a escribir $C$ debajo de covarianza y $V$ de varianza. También, que $S=\sum_{i=1}^{98}Xi$ y $T=\sum{i=3}^{100} Xi$. Gracias a la independencia, tenemos $$ V (S) = \sum {i = 1} ^ {98} V (Xi) = 98, \quad V (T) = \sum {i = 3} ^ {100} V (X_i) = 98. $$ Usando $C(X_i,Xj)=0$ $i\neq j$, por otra parte, tenemos $$ C (S, T) = C\left (\sum {i = 1} ^ {98} Xi, \sum {j = 3} ^ {100} Xj\right) = \sum {i = 1} ^ {98} \sum_ {j = 3} ^ {100} C (X_i, Xj) = \sum {i = 3} ^ {98} C (X_i, X_i) = 96. $$ Sigue que $\frac{C(S,T)}{\sqrt{V(S)V(T)}}=\frac{96}{98}\cdot$

Answer 2

Puesto que el $X_i$ son yo.yo.d. y tienen varianza la unidad, tenemos $$\DeclareMathOperator{Cor}{Cov} \Cor(X_i,X_j) = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \\ 0 & \text{if } i \neq j. \end{cases}$$ Por lo tanto $$ \begin{align*} \Cor\left(\sum_{i=1}^{98} X_i, \sum_{j=3}^{100} X_j\right) &= \sum_{i=1}^{98} \sum_{j=3}^{100} \Cor(X_i,X_j) \\ &= \sum_{i=1}^{98} \sum_{j=3}^{100} [i = j] \\ &= |\{1,\ldots,98\} \cap \{3,\ldots,100\}| \\ &= |\{3,\ldots,98\}| \\ &= 96. \end{align*} $$ Con el fin de calcular el coeficiente de correlación, necesitamos normalizar por la desviación estándar: $$ \DeclareMathOperator{Var}{Var} \rho\left(\sum_{i=1}^{98} X_i, \sum_{j=3}^{100} X_j\right) = \frac{\Cor\left(\sum_{i=1}^{98} X_i, \sum_{j=3}^{100} X_j\right)}{\sqrt{\Var\left(\sum_{i=1}^{98} X_i\right)}\sqrt{\Var\left(\sum_{i=3}^{100} X_i\right)}} = \frac{96}{98}, $$ puesto que la varianza de ambos $\sum_{i=1}^{98} X_i$ $\sum_{i=3}^{100} X_i$ $98$ debido a la suma de la varianza.