Necesito encontrar cosets ciclotómicos en función de $n=7$ y $q=4$ y encontrar la factorización de $x^7-1$ en factores irreducibles sobre $GF(4)$ .
Gracias por cualquier consejo.
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Geoff Robinson
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Como ha señalado Jack D'Aurizio en su comentario, el polinomio $x^{7}-1$ se divide en un producto de $x-1$ y dos factores irreducibles diferentes de grado $3$ en $F_{2}.$ Esto da ciertamente la misma factorización (pero no a priori en factores irreducibles) sobre $F_{4}.$ Sin embargo, $F_{4}$ y $F_{16}$ no contienen ningún elemento de orden multiplicativo $7,$ por lo que no contienen ninguna raíz de $x^{7}-1$ que no sea $1,$ por lo que los dos factores de grado $3$ siguen siendo irreducibles en $F_{4}[x].$
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Bueno, 1 es una raíz, así que es un comienzo.
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Así que tengo $(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ .
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Además, $x^7-1$ se separa completamente $\mathbb{F}_8$ ya que su factorización en $\mathbb{F}_2$ es $(1+x)(1+x+x^3)(1+x^2+x^3)$ . Nótese que no hay ningún polinomio irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ con grado $2$ que divide $x^7-1$ .