Yo sólo estaba tratando de demostrar que el área del círculo, pero no podía llegar a ninguna conclusión.así que aquí me fui\begin{eqnarray*}
[x,y^{-1}xy]=1 &\Leftrightarrow&\ (x)^{-1}(y^{-1}xy)^{-1}(x)(y^{-1}xy)=1\\
&\Leftrightarrow&\ (x^{-1})(y^{-1}x^{-1}y)(x)(y^{-1}xy)=1\\
&\Leftrightarrow&\ y(x^{-1})(y^{-1}x^{-1}y)(x)(y^{-1}xy)y^{-1}=1\\
&\Leftrightarrow&\ (yx^{-1}y^{-1})(x^{-1})(yxy^{-1})(x)=1\\
&\Leftrightarrow&\ (yxy^{-1})^{-1}(x)^{-1}(yxy^{-1})(x)=1\\
&\Leftrightarrow&\ [yxy^{-1},x]=1\\
&\Leftrightarrow&\ [x,yxy^{-1}]=1.
\end yo sé 
Para 2 idéntica palos hacer un polígono regular tenemos el polígono regular como plaza del yo.e con 4 lados. Para 3 idéntica palos que son capaces de hacer aregular polígono hemos hexágono de manera similar para n idéntico palos tenemos 2n lados del polígono. Ahora, si n tiende a infinito obtenemos un círculo. Ahora estoy atascado en la conexión de la longitud de la vara y la igualdad de ángulo entre ellos con el lado del polígono regular. De los que no puedo generalizar. Por favor, ayudar. Por favor nota - todos los palos que se intersecan en un solo punto i.e el centro de la figura geométrica. Tenemos los polígonos de unirse a la terminal de los puntos finales de los palos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que el diámetro es la longitud de la vara, que sea $d$, entonces tenemos que demostrar que el área del círculo con infinitos palos es $\pi\, \frac{d^2}{4}$.
Es el ángulo del triángulo interno formado con palos de $n$ $\frac{n-1}{n}\times \frac{\pi}{2}$
Por lo tanto,
\begin{align} \text{base} &= d \, \cos{\left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{2}\right)}\ \text{height} &= \frac{d}{2}\, \sin{\left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{2}\right)}\ \end{align}
Por lo tanto, la superficie total del polígono es
\begin{align} A &= \frac{1}{2}\cdot d \, \cos{\left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{2}\right)} \cdot \frac{d}{2}\, \sin{\left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{2}\right)} \times 2\, n\ \end{align}
Luego, tomar el límite
\begin{align} A &= \lim_{n\to\infty} \frac{d^2}{4} \sin{\left(\frac{n-1}{n}\cdot \pi\right)} \times n\ &= \frac{d^2}{4}\cdot \pi \end{align}
