Prueba $n!>n^2$ $n>3$

Question

Soy consciente de que la inducción es necesaria. He quedado encerrado en este problema hace unos días. Estoy teniendo un tiempo difícil entender cómo aplicar la hipótesis inductiva a la desigualdad para llegar al paso de $P_{n+1}$.

Caso base es claramente $24 > 16$.

Asumir es $P_n: n!>n^2, n\geq 4$.

$(n+1)n! > (n+1) n^2$

$(n+1)! > (n+1) n^2 $ (n+1)^2$.

Gracias por cualquier Consejo.

Answer 1

Consejo: Mostrar que $n^2\ge n+1$, luego que la desigualdad se multiplican por $n+1$.

Answer 2

La inducción no es necesaria. $n>3$, $\displaystyle n!\ge n(n-1)(n-2)\ge 2n(n-1)>2n\frac{n}{2}=n^2$.

Answer 3

Empezar con:

$$n(n! - 2) > 1$$

Tenga en cuenta que esta desigualdad tiene, porque $n \geq 2$ y $n! \geq 6$

$$n\times n! > 2n + 1$$ $$n \times n! + n! > n^2 + 2n + 1$$ $$n!(n+1) > n^2 + 2n + 1$$ $$(n+1)! > (n+1)^2$$

Usando álgebra poco finalmente conseguimos lo que queremos.

Answer 4

Tenga en cuenta que $(n-1)(n-2)-n=n^2-4n+2=(n-2)^2-2$

Si $n\gt 3$ y $(n-2)^2\ge 4\gt 2$ que $(n-2)^2-2\gt 0$ donde $(n-1)(n-2)\gt n$

Para que $n\gt 3$ tenemos $$n!\ge n\cdot (n-1)(n-2)\gt n\cdot n=n^2$ $

Answer 5

Tenemos que demostrar que $$n!> n^2$$ for $n > 3$

o,

$$(n-1)!>n$$ for $n > 3$

Pero ¿qué es $(n-1)!$? Es el número de maneras de ordenar %#% de #% las personas alrededor de un círculo, y la desigualdad es la siguiente.