Los generadores de congruencia de los subgrupos de SL_2

Question

Para enteros positivos $n$$L$, denotan por $SL_n(Z,L)$ el nivel de $L$ congruencia subgrupo de $SL_n(Z)$, es decir, el núcleo de la homomorphism $SL_n(Z)\rightarrow SL_n(Z/LZ)$.

Para$n$$3$, se sabe que $SL_n(Z,L)$ es generado normalmente (como un subgrupo de $SL_n(Z)$) por Lth potencias de matrices elementales. De hecho, este es esencialmente equivalente a la congruencia de los subgrupos problema para $SL_n(Z)$.

Sin embargo, esto no funciona para $SL_2(Z,L)$ desde $SL_2(Z)$ no tiene la congruencia de los subgrupos de la propiedad.

Pregunta : hay un buen grupo electrógeno $SL_2(Z,L)\ ?$ estoy seguro de que este es en la literatura en algún lugar, pero no he sido capaz de encontrarlo.

Answer 1

Sabía que su pregunta sonó una campana. Si L es un extraño primo, entonces debe ser el normal de cierre de un solo elemento, creo. No sé si el elemento es "bonito", es suficiente para ti, sin embargo.

Ver MR0565476.

Answer 2

Hola Andy,

No sé si usted todavía está interesado en esto, pero me acabo de enterar de la referencia:

MR0049937 (14,250 d) Grosswald, Emil En la parabólica generadores de la directora de la congruencia de los subgrupos de la modulares grupo. Amer. J. Matemáticas. 74, (1952). 435--443.

Se basa en el trabajo previo de H. Frasch (1933), quien dio un conjunto explícito de generadores libres para el director de la congruencia de los subgrupos de Gamma(p) en PSL(2,Z), para el primer p.

-Ignat

Answer 3

Yo estaba en un taller sobre noncongruence formas modulares recientemente (un noncongruence subgrupo de $SL_2(\mathbb{Z})$ es un subgrupo de índice finito que no contiene las $\Gamma(N)$ ) cuando esta pregunta se acercó. Creo que el consenso fue que a pesar de que uno puede, en principio, calcular un grupo electrógeno $\Gamma(N)$, el algoritmo no es muy eficaz para $N$ grande (donde por grandes me refiero mayor que $13$ o así). El algoritmo consiste en calcular la Farey símbolo asociado a $\Gamma(N)$ y llegar coset representantes. La dificultad es que el índice de $\Gamma(N)$ aumenta muy rápidamente, haciendo que el cálculo de la Farey símbolo muy largos.

Ling Long y Chris Kurth ha escrito un documento sobre el algoritmo (que hace referencia el papel de Kulkarni que algori mencionado), que está disponible aquí.

Answer 4

Kulkarni (American J de Matemáticas, 113, 6, 1053-1133) proporciona un método para calcular la agradable fundamentales de los dominios de la acción de los subgrupos en $SL_2(\mathbf{Z})$ en la mitad superior del plano -.

"Bueno" significa que, en particular, de que el subgrupo es un producto libre de los subgrupos generados por el borde de emparejamiento de transformaciones. En el caso de $\Gamma(N) =\ker SL_2(\mathbf{Z})\to SL_2 (\mathbf{Z} / {N})$ tenemos un grupo y así obtenemos un sistema de generadores. Kulkarni del enfoque se basa en la observación de que la congruencia de los subgrupos de $SL_2(\mathbf{Z})$ están en un bijection con "bipartito cuboide gráficos", que son unitrivalent gráficos con un orden cíclico en los bordes de la reunión en un trivalente vértice además de algunos datos adicionales. Sin embargo, Kulkarni del método consiste en "ensayo y error" y no creo explícita conjuntos de generadores son conocidos por general $N$.

Answer 5

Mi primer intento en esto sería pensar en SL_2(Z,L) actuando en la mitad superior del plano. Usted puede ver lo que las cúspides son y qué clases conjugacy en SL_2(Z,L), que corresponden; mod a cabo por el subgrupo generado normalmente por aquellos, y se obtiene el grupo fundamental de la cerrada de la superficie de Riemann X(L); supongo que me gustaría tratar de dibujo en la mitad superior del plano de las rutas explícitas que sabe generar la homología ("modular símbolos") y ver en qué medida estos generan todo el grupo fundamental. (Pero he sido descuidado en muchos lugares aquí y, sin duda, a alguien le acaba de proporcionar una referencia para que usted no tiene que hacer nada...)