Una pregunta sobre conmutadores

Question

En un grupo $G$, que $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ ser el conmutador de $x$ y $y$. Supongamos que el $x$, $y$ % y $z$ son elementos en $G$ satisfacer

$[x,y^{-1}xy]=[x,z^{-1}xz]=1$.

¿Es necesariamente cierto que $[x,(yz)^{-1}x(yz)]=1$?

¿Es necesariamente cierto que $[x,yxy^{-1}]=1$?

Answer 1

En general la primera afirmación es falsa; Tobias Kildetoft da un counterexample(s) (montón de).

La segunda declaración puede verificarse por cálculo:\begin{eqnarray} [x,y^{-1}xy]=1 &\Leftrightarrow&\ (x)^{-1}(y^{-1}xy)^{-1}(x)(y^{-1}xy)=1\ &\Leftrightarrow&\ (x^{-1})(y^{-1}x^{-1}y)(x)(y^{-1}xy)=1\ &\Leftrightarrow&\ y(x^{-1})(y^{-1}x^{-1}y)(x)(y^{-1}xy)y^{-1}=1\ &\Leftrightarrow&\ (yx^{-1}y^{-1})(x^{-1})(yxy^{-1})(x)=1\ &\Leftrightarrow&\ (yxy^{-1})^{-1}(x)^{-1}(yxy^{-1})(x)=1\ &\Leftrightarrow&\ [yxy^{-1},x]=1\ &\Leftrightarrow&\ [x,yxy^{-1}]=1. \end{eqnarray } una manera más fácil de ver esto es tener en cuenta que $[a,b]=1$ si y sólo si $ab=ba$. Entonces $$[x,y^{-1}xy]=1\ \Leftrightarrow\ xy^{-1}xy=y^{-1}xyx\ \Leftrightarrow\ yxy^{-1}x=xyxy^{-1}\ \Leftrightarrow\ [x,yxy^{-1}]=1.$ $

Answer 2

Denotar $x^g = g^{-1}xg$. Como se ha mencionado en los comentarios, el uso de la identidad de $[a,b]^g = [a^g, b^g]$ nos permite deducir que la segunda afirmación es verdadera. Es decir, $[x, x^y] = 1$ implica $[x, x^{y^{-1}}] = 1$.

Suponga que $[x, x^y] = [x, x^z] = 1$. La primera declaración se pregunta si este implica $[x, x^{yz}] = 1$. Ahora $[x, x^{z^{-1}}] = 1$, por lo que si la primera instrucción fuera cierto, tendríamos $[x, x^{yz^{-1}}] = 1$, lo que equivale a $[x^z, x^y] = 1$.

Por lo tanto si $[x, x^y] = [x, x^z] = 1$$[x^z, x^y] \neq 1$, obtenemos el contraejemplo $[x, x^y] = [x, x^{z^{-1}}] = 1$, $[x, x^{yz^{-1}}] \neq 1$. En otras palabras, para encontrar un contraejemplo a la primera afirmación, basta con encontrar dos conjugados de $x$ que conmuta con $x$, pero no conmuta con cada uno de los otros. Intuitivamente parece que esto debería ser posible. Sólo porque dos elementos que conmutan con a$x$, ¿por qué tendría que conmuta con cada uno de los otros?

Encontrar contraejemplos en grupos simétricos, es bastante sencilla. Dos elementos son conjugadas si y sólo si tienen el mismo tipo de ciclo. También, discontinuo permutaciones conmuta con cada uno de los otros. Con este y el anterior comentario, usted puede averiguar cuantos ejemplos desea similar a la dada por Tobias en los comentarios. Por ejemplo, considere la posibilidad de $x = (12)$, $x^y = (34)$, $x^z = (45)$.