El gradiente como vector de filas y columnas

Question

El Cálculo Avanzado de Kaplan define el gradiente de una función $f:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$ como el $1 \times n$ vector fila cuyas entradas contienen respectivamente el $n$ derivadas parciales de $f$ . Según esta definición, el gradiente no es más que la matriz jacobiana de la transformación.

También sabemos que utilizando el teorema de representación de Riesz, suponiendo $f$ es diferenciable en el punto $x$ podemos definir el gradiente como el vector único $\nabla f$ tal que

$$ df(x)(h) = \langle h, \nabla f(x) \rangle, \; h \in \mathbb{R}^n $$

Suponiendo que ignoremos la distinción entre vectores fila y vectores columna, la primera definición se deduce fácilmente de la segunda. Pero los vectores fila y los vectores columna no son lo mismo. Por lo tanto, tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Es importante la distinción entre vectores fila/columna?
2. Si (1) es cierto, ¿cómo podemos saber por la segunda definición que el vector en cuestión es un vector fila y no un vector columna?

Answer 1

Sí, la distinción entre vectores fila y vectores columna es importante. En una variedad lisa arbitraria $M$ la derivada de una función $f : M \to \mathbb{R}$ en un punto $p$ es una transformación lineal $df_p : T_p(M) \to \mathbb{R}$ En otras palabras, es una cotangente vectorial. En general, el espacio tangente $T_p(M)$ no viene equipado con un producto interno (se trata de una estructura extra: véase Colector riemanniano ), por lo que en general no podemos identificar vectores tangentes y vectores cotangentes.

Por lo tanto, en una variedad general hay que distinguir entre campos vectoriales (familias de vectores tangentes) y diferencial $1$ -forma (familias de vectores cotangentes). Mientras que $df$ es una forma diferencial y existe para todo $M$ , $\nabla f$ no puede definirse con sentido a menos que $M$ tiene una métrica de Riemann, y entonces es un campo vectorial (y la identificación entre formas diferenciales y campos vectoriales ahora depende de la métrica ).

Si se piensa en los vectores tangentes como vectores columna, entonces $\nabla f$ debería ser un vector columna, pero el funcional lineal $\langle -, \nabla f \rangle$ debe ser un vector de filas. Uno de los principales problemas de trabajar completamente en bases es que a menudo se pasan por alto distinciones como éstas, y luego, cuando se vuelven importantes, los estudiantes están muy confundidos.

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Algunas observaciones sobre la no canonicidad. El espacio tangente $T_p(V)$ a un espacio vectorial en cualquier punto puede ser canónicamente identificado con $V$ Así que para los espacios vectoriales no nos encontramos con los mismos problemas. Si $V$ es un espacio de producto interno, entonces, de la misma manera, hereda automáticamente la estructura de una variedad riemanniana por la identificación anterior. Por último, cuando se escribe $V = \mathbb{R}^n$ con frecuencia pretenden $\mathbb{R}^n$ para tener el producto interno estándar con respecto a la base estándar, y esto equipa $V$ con la estructura de una colecta riemanniana.