$L^2([-1, 1])$ ,$\lim_{j \to \infty} f_j(x) = 1$.e. $x \in [-1, 1]$?

Question

Vamos$$\{f_j : j \in \mathbb{N}\} \subset L^2([-1, 1])$$be such that$$f_j \ge 0,\,\text{ }\|f_j \|_{L^1([-1, 1])} = 2,\,\text{ }\left|\|f_j\|_{L^2([-1, 1])} - \sqrt{2}\right| \le 2^{-j}.$$How do I see that$$\lim_{j \to \infty} f_j(x) = 1$$for a.e. $x \in [-1, 1]$?

Answer 1

Observe que

$$ \int_{-1}^{1} |f_j - 1|^2 = \| f_j \|_2^2 - 2\|f_j\|_1 + 2 = \mathcal{O}(2^{-j}). $$

Por el teorema de convergencia monótona, tenemos

$$ \int_{-1}^{1} \sum_{j=1}^{\infty} |f_j - 1|^2 = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{-1}^{1} |f_j - 1|^2 < \infty. $$

Por lo tanto, $\sum_{j=1}^{\infty} |f_j - 1|^2$ es finito una.e. y, por tanto,$f_j \to 1$.e.

Answer 2

Me demostró su statemement hasta un subsequence $f_{j_k}$. Tenemos \begin{align} \int_{-1}^1 |f_j(x)-1|^2dx&=\int_{-1}^1 f_j(x)^2dx -\int_{-1}^1 2f_j(x)dx +\int_{-1}^1 1dx \\ &=\| f_j\|_{L^2}^2-2\| f_j\|_{L^1}+2=\| f_j\|_{L^2}^2-2 \end{align} Desde $\| f_j\|_{L^2}$ converge a $\sqrt 2 $ : $$\int_{-1}^1 |f_j(x)-1|^2dx\longrightarrow 0.$$ Ahora podemos decir que hay una larga $f_{j_k}$ tal que $$\lim_{k \to \infty}f_{j_k}(x)=1$$ por una.e$x$$[-1,1]$.