He intentado buscar la manera de resolver esta ecuación, y se topó con algo parecido a la función W de Lambert, la cual, por cierto, no he entendido un poco, porque nunca he aprendido que ni tengo una buena formación matemática. También me llegó a través de otro método, llamado el método de Newton, pero nunca lo utilizó. Puede que el procedimiento para resolver esta ecuación se hizo un poco más claro? Me acaba de instalar en el valor en mi calculadora y resolvió por mí, supongo que debe haber usado un poco de ensayo y error. Por favor avise.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Es $x^x=y$ solución para $x$? (2 respuestas )
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Mike Powell
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Has encontrado la respuesta a su pregunta, así que voy a explicar.
Usted desea solucionar $x^x = c$, para un número $c$. La respuesta $x$ no puede ser expresada en términos de las funciones comunes - polinomios, funciones trigonométricas, exponencial, etc. - pero usted puede expresar en términos de una función que ha sido estudiado y se le da un nombre. Específicamente, la función W de Lambert se define como la respuesta a una pregunta relacionada con:
Si $x = W(z)$,$xe^x = z$.
La relación es que $$\begin{align}x^x &= c \\ x\ln x &= \ln c \qquad\qquad \text{ taking logarithms}\\ (\ln x)e^{(\ln x)} &= \ln c \qquad\qquad \text{ writing }x=e^{(\ln x)}\\ \ln x &= W(\ln c) \qquad \text{by definition of }W \\ x &= e^{W(\ln c)} \end{align}$$
Por lo que la función W de Lambert le da un nombre para lo que usted desea. Para encontrar el valor numérico, se puede usar algo como el método de Newton, que es un método general. Para tu problema, el método es algo como lo siguiente (según Wikipedia):
Elegir algún valor $w_0$ de su valor inicial.
Si usted sabe algunos de valor de $w_j$ (donde $j = 0, 1 \dots$ es un índice), encontrar el siguiente valor $w_{j+1}$ $$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-\ln c}{e^{w_j}+w_j e^{w_j}}.$$
En cada etapa (por cada $j$), $e^{w_j}$ es una aproximación al verdadero valor de $x$ desea, y esta aproximación pone mejor, como $j$ aumenta (como realizar más pasos).
Por favor, discúlpame si me voy demasiado en no asumir cosas que ya se entiende muy bien.
Primero tienes que aclarar lo $x^x$ realmente significa. En general, $a^x$ se define como $e^{x \log a}$ positivos $a$. Así que para los positivos $x$, definimos $x^x$$e^{xlog x}$. Si desea utilizar el método de Newton, es un poco más fácil de tomar (natural) de los logaritmos en este punto. La solución de $x^x = c$ para un número $c$ es equivalente a la resolución de $x \log x = d$ donde $d = \log c$, así que vamos a concentrarnos en la solución de $x \log x = d$. Entonces estamos tratando de solucionar $f(x) = 0$ donde $f(x) = x \log x -d$. Observe que el derivado $f^{\prime}(x) = 1 +\log x$.
El método de Newton intenta solucionar $f(x) = 0$ mediante la selección de una partida aproximación a una solución de $x_0$, y la generación de nuevas aproximaciones a través de la fórmula $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}.$ Esto se justifica por la heurística que $f(x + h)$ está cerca de a $f(x) + hf^{\prime}(x)$ al $h$ es pequeña, así que si tomamos $h = \frac{-f(x)}{f^{\prime}(x)}$, se debe obtener algo cercano a cero. El método de Newton no siempre convergen a una solución, y el análisis de las condiciones en las que se hace es bastante complicado.
De todos modos, para esta elección de $f$, el método de Newton nos dice que para establecer $x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_n \log(x_n) - d}{1+\log x_n}$, que podemos reescribir como $ x_{n+1} = \frac{x_n + d}{1 + \log x_n}$. Esto, o algo parecido, puede ser la manera en que su calculadora encontrado una solución.
Anthony Cramp
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Ninguna de las "funciones elementales" de la matemática básica resuelve esto. Una "nueva" función, la función W de Lambert, puede ser introducido, que resuelve muchas cosas que no se pueden resolver en funciones elementales. Incluyendo esta ecuación.
Solucionar $x^x=y$ $x$ y obtener: $$ x = \frac{\operatorname{ln} (y)}{\mathrm W \bigl(\operatorname{ln} (y)\bigr)} $$
