Automorphism grupo de la general afín grupo de los afín línea sobre un campo finito?

Question

Me pregunto cuál es la estructura de la automorphism grupo de la general afín grupo de los afín línea sobre un campo finito. Voy a hacer que precisar un poco más:

Si $k$ es un campo finito, y $\operatorname{AGL}_1(k)$ de su grupo de transformaciones afines, es decir, mapas de la forma $$k\ \longrightarrow\ k:\ x\ \longmapsto\ ax+b,$$ con $a\in k^{\times}$$b\in k$, entonces ¿cuál es el isomorfismo tipo de $\operatorname{Aut}(\operatorname{AGL}_1(k))$?

Sé que $\operatorname{AGL}_1(k)\cong k\rtimes k^{\times}$, donde el semi-directa del producto está dada por la acción natural de la $k^{\times}$ $k$ por multiplicación. También, como el centro de la $\operatorname{AGL}_1(k)$ es trivial, es isomorfo a un subgrupo de su isomorfismo grupo. Cualquier automorphism de $\operatorname{AGL}_1(k)$ restringe a un grupo automorphism de $k^{+}$, de los cuales hay muchos, por desgracia.

Lo que es una buena manera de acercarse a este problema?

Answer 1

Deje $G = {\rm AGL}_1(k)$. A continuación, ${\rm Aut}(G) = {\rm A \Gamma L}_1(k) \cong G\langle \gamma \rangle$ donde $\gamma$ es un generador del grupo de campo de automorfismos de a $k$. Así que si $|k|=p^e$ $p$ prime, a continuación,$|\gamma|=e$$\gamma:x \mapsto x^p$$x \in k$.

Aquí es un boceto de la prueba. Cualquier $\alpha \in {\rm Aut}(G)$ debe corregir el normal subgrupo $k$ de la semidirect producto y, puesto que los complementos son todo conjugado en $G$, podemos asumir (multiplicando $\alpha$ por una interna automorphism) que si se corrige el principal complementar $k^\times$. Desde $k^\times$ actúa transitivamente por la conjugación en $k \setminus \{0\}$, multiplicando $\alpha$ por una interna automorphism de nuevo, podemos asumir que $\alpha(1)=1$.

Para $0 \ne a \in k < G$, voy a utilizar $\bar{a}$ para denotar el elemento correspondiente de la complementan $k^\times$. Así que el semidirect acción del producto es $\bar{a}b\bar{a}^{-1} = ab$.

Ahora, para $0 \ne a \in K$ con $\alpha(1)=1$, tenemos $$\alpha(a) = \alpha(\bar{a}1\bar{a}^{-1}) =\alpha(\bar{a})1\alpha(\bar{a})^{-1},$$ por lo $\overline{\alpha(a)} = \alpha(\bar{a})$. En otras palabras $\alpha$ está actuando de la misma manera en $k -\{0\}$ y en $k^\times$.

Así, por $a,b \in k \setminus \{0\}$, $$\alpha(a)\alpha(b) = \overline{\alpha(a)} \alpha(b) \overline{\alpha(a)} ^{-1} = \alpha(\bar{a}) \alpha(b)\alpha(\bar{a})^{-1} = \alpha(\bar{a}b\bar{a}^{-1}) = \alpha(ab)$$ y, por tanto, $\alpha$ está actuando como un campo automorphism de $k$.