La triangular plaza del problema, que marlu publicado, conduce a un concreto ejemplo de la ecuación de Pell. Hay bastante un par de primaria de los problemas que conducen a la ecuación de Pell para pequeños valores de $d$: ver Barbeau del libro "la Pell de la Ecuación". Estos son agradables problemas, pero debido a $d$ resulta ser un pequeño número de explícito el hecho de que un general de la $x^2 - dy^2 = 1$ con rectangulares $d > 1$ es trivial solucionable, no es directamente relevante. Aquí está un ejemplo de un problema que involucra infinitamente muchos casos de la ecuación de Pell, debido a H. Aliso y W. Simons ($n$$n+1$ Enteros Consecutivos con la Igualdad de las Sumas de Cuadrados, Amer. De matemáticas. Mensual 74 (1967), 28--30.)
Para un entero positivo $n$ le gustaría encontrar un conjunto de $n$ consecutivos plazas y $n+1$ consecutivos plazas cuyas sumas son iguales:
$$
x^2 + (x+1)^2 + \cdots + (x+n-1)^2 = y^2 + (y+1)^2 + \cdots + (y+n)^2
$$
para algunos enteros $x$$y$. (Al $n = 1$ este es el problema de encontrar una terna Pitagórica con el consecutivo de las piernas: 3,4,5; 20,21,29; 119,120,169;....)
Escrito $z=x-y$, después de algunos tedioso álgebra de la ecuación anterior es la misma que
$$
(y+n(1-z))^2 = n(n+1)z(z-1).
$$
Deje $a^2$ ser la plaza más grande del factor de $n(n+1)$: $n(n+1) = a^2b$, donde $b$ es squarefree. A continuación, $a^2b$ es un factor de $(y+n(1-z))^2$, por lo que (!) $ab$ es un factor de $y+n(1-z)$. Set$y+n(1-z) = abv$, $v$ un entero. Entonces la ecuación anterior es la misma que
$$
a^2b^2^2 = a^2bz(z-1) \Longleftrightarrow (2z-1)^2 - 4bv^2 = 1.
$$
Estamos, pues, reducido a la solución de $u^2 - 4bv^2 = 1$ para los números enteros $u$ $v$ (necesariamente $u$ es impar), y $4b$ no es un cuadrado. Dejando de lado el factor 4, que podría ser absorbido en $v$ insistiendo $v$ ser incluso, que esto es bastante general de la ecuación de Pell con squarefree $b$. (Una solución es $u=2n+1$$v = a$, lo $x = 2n^2 + 2n+1$$y = 2n^2 + n$, pero que no es siempre la primera solución: intente $n=8$.)
Por otra parte, cada squarefree $b > 1$ hace surgir en un problema, porque siempre hay un entero $n$ tal que $n(n+1) = a^2b$ para algunos entero $a$: encontrando $n$ $a$ tal que $n(n+1) = a^2b$ es equivalente a $(2n+1)^2 - 4ba^2 = 1$, y la ecuación de $X^2 - 4bY^2 = 1$ tiene alguna solución integral $(X,Y)$ por el general de la teoría de la ecuación de Pell, con $X$ necesariamente impar.
