¿Cuál es un ejemplo de función suave en $C^\infty(\mathbb{R}^2)$ que no está contenida en $C^\infty(\mathbb{R})\otimes C^\infty(\mathbb{R})$

Question

Al observar el producto tensorial del anillo de funciones suaves sobre $\mathbb{R}^n$ , sólo hay una inyección $$ C^\infty(\mathbb{R}^n)\otimes_\mathbb{R}C^\infty(\mathbb{R}^m) \to C^\infty(\mathbb{R}^{n+m}) $$ Esto motiva la construcción del producto tensorial completo que da un isomorfismo. ¿Cuál es un ejemplo de una función suave que en $$ C^\infty(\mathbb{R}^2) $$ que no se encuentra en el producto tensorial estándar?

Answer 1

Supongamos que $H \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una función que tiene la forma $H(x,y) = \sum_{i=1}^k f_i(x)g_i(y)$ para algunos $k \in \mathbb{N}$ y algunas funciones $f_i,g_i \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . A continuación, para cada $x_0 \in \mathbb{R}$ la función $y \mapsto H(x_0,y)$ es una combinación lineal de las funciones $g_1, \dots, g_k$ (con coeficientes en $\mathbb{R}$ ). En particular, para cualquier $n > k$ las funciones

$$ y \mapsto H(1,y), y \mapsto H(2,y), \dots, y \mapsto H(n,y) $$

deben ser linealmente dependientes (porque todos pertenecen a $\operatorname{span} \{ g_1, \dots, g_k \}$ ).

Así, por ejemplo, considere $H(x,y) = e^{xy}$ y asumir que $H = \sum_{i=1}^k f_i(x)g_i(y)$ para algunos $k$ y $f_i,g_i$ . Es fácilmente visto que las funciones

$$ e^{y}, e^{2y}, \dots, e^{ky}, e^{(k+1)y} $$

son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ y llegamos a una contradicción.