"Converse" de opcional de frenado teorema de

Question

Supongamos que estamos considerando el caso discreto. Si $\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una martingala adaptado a $F_n$$X_n\in L^1$, entonces para cualquier delimitada tiempo de parada de las $\tau$, de acuerdo con el opcional de frenado teorema(o teorema de muestreo opcional), tendremos que $E(X_\tau)=E(X_0)$.

He visto algunas de las discusiones sobre la condición, tales como el acotamiento de la tiempo de parada. Sin embargo, ahora estoy curioso acerca de que si no tenemos la suposición de que $X_n$ es una martingala no $E(X_\tau)=E(X_0)$ aún mantiene cualquiera limitada de tiempo de paro? En otras palabras, ¿existe alguna integrable proceso aleatorio $X_n$ adaptado a $F_n$ que no es una martingala tal que para cualquier delimitada tiempo de parada de las $\tau$ tiene $E(X_\tau)=E(X_0)$?

O podemos reformular esta como "converse" de OST: si integrable proceso aleatorio $X_n$ adaptado a $F_n$ y para cualquiera limitada de tiempo de paro $\tau$ tiene $E(X_\tau)=E(X_0)$, $X_n$ es una martingala. Es esta conversar verdad o no?

Answer 1

Limpio pregunta! Es cierto, si no me equivoco.

Deje $n$ ser arbitraria y establecer $A = \{E[X_{n+1} \mid F_n] > X_n\} \in F_n$. Set $\tau = (n+1) 1_A + n 1_{A^c}$; usted puede verificar que el $\tau$ es un almacén de tiempo de parada. A continuación,$X_\tau = X_{n+1} 1_A + X_n 1_{A^c}$.

Deje $Y = E[X_\tau \mid F_n] = E[X_{n+1} \mid F_n] 1_{A} + X_n 1_{A^c}$ (por las propiedades de la esperanza condicional). Tenga en cuenta que $Y \ge X_n$, e $Y > X_n$$A$. Pero $E[Y] = E[X_\tau] = E[X_0] = E[X_n]$ desde $n$ es también un almacén de tiempo de parada. Así llegamos a la conclusión de que $P(A) = 0$, es decir $E[X_{n+1} \mid F_n] \le X_n$ casi seguramente. El opuesto de la desigualdad puede ser muestra de la misma manera, con lo que conseguimos $X_n = E[X_{n+1} \mid F_n]$ casi seguramente, y $n$ fue arbitraria. Por lo tanto $X_n$ es una martingala.

Intuitivamente, si usted piensa de $X_n$ como precio de las acciones, a continuación, $A$ es el evento que "la información disponible por tiempo $n$ sugiere que, en promedio, el precio va a subir mañana". Por lo $X_\tau$ corresponde a la estrategia de "si en el día $n$, parece que el precio va a subir, entonces espera hasta mañana; de lo contrario la venta hoy en día". Si $A$ había positiva de probabilidad, a continuación, esta estrategia de inversión sería rentable en promedio, que se supone es imposible si el precio de la acción es una martingala.