Cuántos coeficientes de Fourier son suficientes ( discrete fourier transform)

Question

_{Probablemente hay una pregunta similar, pero yo no puede encontrar a través de todas las preguntas acerca de FT}

Como dice el título, ¿cuántos coeficientes de Fourier son suficientes, para ser capaces de "curriculum vitae" de la función original, utilizando la inversa de la transformada de Fourier discreta?

Por ejemplo, en la definición de la Wikipedia, parece que tenemos N coeficientes, donde N es el número de puntos dados de la original función discreta. También me di cuenta, que para la FFT (fast Fourier transform), el número de calculados los coeficientes es igual al número de puntos dados.

Es esto siempre así? O puede que tengamos menos los coeficientes? O más? Y es allí una manera de estimar este número de coeficientes?

_{Corrí algunas pruebas con generada al azar "puntos de control" de una función discreta y aplicados de la DFT y la IDFT (en este orden) y todos los puntos de control fueron recreados.}

Answer 1

La transformada de Fourier discreta de una señal de $\{x_j\}$ está dado por una combinación lineal de las $x_j$'s con algunos de los factores de la forma $e^{j \pi i /N}$ o algo similar. Esto puede ser escrito como poco

$$x_k=A_{ki} x_i$$

donde $A_{ki}$ es la matriz de transformación. Es invertible (esta es la razón por la que también tienen la inversa de la transformación).

Una vez entendido eso, ver que la transformada de Fourier no es nada más que un cambio de base en el espacio de $\mathbb{C}^N$ donde $N$ es la longitud de la señal. Desde cualquier base será de tamaño $N$, se puede ver que en el fin de describir completamente la señal siempre se necesita exactamente $N$ números complejos (o $2N$ real).

Por lo tanto, si su señal es complejo, siempre necesitará de todos los coeficientes de la DFT. Si su señal es puramente real, entonces los coeficientes de la DFT están relacionados por $x_k=x_{N-k}^*$ y sólo necesita la mitad de ellos.

Answer 2

El número de coeficientes necesarios para reconstituir una señal dada depende de la señal en sí, y cómo están de muestreo.

He aquí una respuesta intuitiva. La transformada de Fourier discreta intenta representar la señal como una suma de las frecuencias, de $0$ frecuencia (o DC, con una respuesta plana), hasta algunos más frecuencia que depende de la granularidad de su muestreo. Cuando en su simulaciones de aumentar la frecuencia de muestreo de la señal (hacer que sus puntos de muestra más juntos), necesariamente aumentar el rango de frecuencia de la señal, que puede representar, y por lo tanto, usted tendrá más los coeficientes de Fourier para las frecuencias más altas.

Sin embargo, usted puede hacer que su señal muy lenta (sólo tienen bajas frecuencias). En este caso, usted no necesita todos los coeficientes de Fourier para reproducir la señal (trate de hacer su señal de prueba de un lento señal de onda, por ejemplo). Por otro lado, si usted hace su señal muy rápido (tiene un montón de altas frecuencias), usted no será capaz de caída de los coeficientes y de reproducir la señal. Hay un límite en la forma "rápida" de su señal puede ser y todavía ser reproducido en una determinada frecuencia de muestreo. Se llama la Tasa de Nyquist. Por cierto muy especial de señales, usted podría ser capaz de hacerlo mejor que la tasa de Nyquist. Esto está relacionado con el campo de comprimido de detección.