Preguntas acerca de la integral de Bochner

Question

Me preguntaba

1. Si no hay distinción entre la existencia de la integral de Bochner y Integrabilidad Bochner, o los dos de siempre significan lo mismo?
2. Si en la integral de Bochner, el integrando se supone que ser medible respecto de la Borel $\sigma$-álgebra de la codominio Espacio de Banach?

3. si la diferenciación bajo integral signo sigue siendo cierto para Bochner integral? ¿Cuál es la condición para que eso sea cierto? ¿Qué tipos de los derivados son involucrados por encima, Fréchet derivados, la Gâteaux derivados, o algo más?

   Por ejemplo, $\frac{d}{dt} \int_a^t f(t) g(x,t) dt$, where $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g: B \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $B$ es un espacio de Banach, y la integral de Bochner existe.

Gracias y saludos! También hay algunas buenas referencias?

Answer 1

Alrededor de 3. tenemos algo aún mejor! El teorema de Hille.

http://fa.its.tudelft.nl/~neerven/publicaciones/documentos/ISEM.pdf Teorema 1.19

Teorema 1.19 (Hille). Deje $f : A \to E$ $\mu$- integrable Bochner y deje $T$ ser un cerrado operador lineal con dominio de $D(T)$ $E$ toma los valores de una de Banach espacio de $F$ . Suponga que $f$ toma sus valores en $D(T)$ $µ$-en casi todas partes y el $µ$-casi en todas partes de la función definida $T f : A \to F$ $µ$- integrable Bochner. Entonces $$T \int_A f \, d\mu = \int_A T f \, d\mu.$$

Un hermoso teorema. Sus otras preguntas pueden ser respondidas por el primer capítulo, en el referido documento.

Answer 2

Anton Deitmar y coautor(s) recientemente se han escrito algunas cosas sobre esto: por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1102.1246 al parecer, se dan referencias.

Answer 3

Aquí está la información:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
Un integrable Bochner función es la de casi todos sus valores en un separables subespacio, y (si el dominio sigma-álgebra es completa) por lo tanto es medible en su sentido.