¿Por qué es este el cardenal regular?

Question

Tengo el siguiente problema en frente de mí.

Mostrar que si $\kappa$ es el menor cardinal tal que $2^\kappa>2^{\aleph_0},$ $\kappa$ es regular.

He escribía esto:

Supongamos que $$\kappa=\coprod_{\alpha<\lambda}X_\alpha,$$ where $\lambda<\kappa$ is a cardinal, and for each $\alpha<\lambda$ we have $|X_\alpha|<\kappa.$ Then $$\Large 2^{\aleph_0}<2^\kappa=2^{\coprod_{\alpha<\lambda}X_\alpha}=\prod_{\alpha<\lambda}2^{X_\alpha}=(\sup_{\alpha<\lambda}2^{X_\alpha})^\lambda.$$

Si la última cosa que eran iguales a $2^\lambda$, me gustaría conseguir una contradicción, y me gustaría hacer. Pero no tengo idea de lo que la última cosa igual.

También traté de escribir algunas fórmulas con cofinality y suprema, pero no me llega más lejos. ¿Cuál es la forma más sencilla de hacerlo? La cosa de arriba usa algunos hechos triviales que no entiendo muy bien.

Answer 1

Deje $\lambda=\operatorname{cf}\kappa$, y deje $\langle\alpha_\xi:\xi<\lambda\rangle$ ser un cofinal secuencia en la $\kappa$. A continuación, $|\alpha_\xi|<\kappa$ por cada $\xi<\lambda$, lo $2^{|\alpha_\xi|}\le 2^\omega$ por cada $\xi<\lambda$. Por lo tanto, $\sup_{\xi<\lambda}2^{|\alpha_\xi|}=2^\omega$, e $(2^\omega)^\lambda=2^\lambda$ (desde $\lambda\ge\omega$). Y si $\lambda<\kappa$,$2^\lambda\le 2^\omega<2^\kappa$.

Tenga en cuenta que usted no necesita realmente la igualdad en el último paso de su línea: todo lo que necesitas para este resultado es que

$$\prod_{\alpha<\lambda}2^{|X_\alpha|}\le\left(\sup_{\alpha<\lambda}2^{|X_\alpha|}\right)^\lambda\;,$$

que es bastante fácil de ver.