Sorprendente e inocente resultados con el axioma de elección

Question

El producto de conjuntos no vacíos es no vacío.

Me fascina que una simple y aparentemente intuitiva instrucción puede conducir a más sorprendente de los resultados, tales como el de Banach-Tarski paradoja o la solución a este acertijo.

Yo también estoy intrigado por la aparentemente inocente resultados que dependen de CA (la existencia de la algebraicas cierres, cualquier ideal está contenido en un ideal maximal) y me pregunto si me estoy perdiendo algo de intuición para ver cómo realmente notable que son.

Mi pregunta: ¿cuáles son otros ejemplos de aparentemente mágico cuyos resultados de las pruebas se basan explícitamente en CA, y ¿cuáles son los ejemplos de la aparentemente inocente resultados que dependen de la CA que tras un examen ulterior llegar a ser bastante notable a sí mismos?

Answer 1

Desde la parte superior de mi cabeza:

1. Continuidad de funciones reales en un punto de $x$ es equivalente a la continuidad secuencial.
2. Cada conjunto infinito tiene una contables subconjunto infinito.
3. El contable de la unión de conjuntos contables es contable.
4. Existe una inyección de $\aleph_1$ a $\Bbb R$.
5. No existen conjuntos de Borel.
6. Cada conjunto no vacío puede ser dotado de una estructura de un grupo (y por lo tanto, abelian grupo, anillo, campo, etc).
7. Todo libre abelian grupo es proyectiva.
8. Cada divisible abelian grupo es inyectiva.
9. Hay "suficiente" proyectiva (o inyectiva) abelian grupos. (Los dos últimos son equivalentes a la elección, ésta es más débil.)
10. Cada árbol de la altura de la $\omega$ donde todos los niveles son finitos tiene una sucursal.
11. Cada campo tiene una clausura algebraica.
12. Si un campo tiene una clausura algebraica, entonces tiene un único algebraica de cierre (hasta isomorfismo).
13. Subgrupo de un grupo libre es libre.
14. Subgrupo de libre abelian grupo es libre de abelian.
15. Todo espacio vectorial tiene una base.

La lista continúa para siempre. Me pueden agregar un poco más tarde.

Answer 2

Esta no es una respuesta a la pregunta en el último párrafo, pero aquí es una manera de reparar su intuición acerca de las aplicaciones del axioma de elección. Una manera de pensar acerca de por qué la elección es no intuitiva es pensar en términos de recursos computacionales (ver, por ejemplo, esta entrada de blog por Terence Tao). Para cualquier tipo de construcción de las matemáticas es posible que desee hacer, pensar en qué tipo de recursos computacionales que se necesitaría para llevar realmente a cabo. Algunos conjuntos tienen la propiedad de que se necesita una gran cantidad de recursos computacionales para escribir un elemento de ese conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las soluciones de una ecuación de Diophantine puede ser no-vacío, pero todavía puede tomar un largo tiempo para escribir uno.

Cada vez que usted tiene una cantidad limitada de recursos computacionales, el axioma de elección va a ser falso, porque te quedarás fuera de los recursos computacionales, cuando se trate de anotar un elemento de una lo suficientemente grande producto de la no-vacía de conjuntos. Por ejemplo, supongamos que usted tiene sólo una cantidad finita de recursos computacionales. Entonces el axioma de contables elección va a ser falso: si puedo tomar countably muchos Diophantine ecuaciones, ninguno de los cuales se sabe en la actualidad soluciones, y pedirle que escriba una solución para cada uno, puede no ser capaz de hacerlo, incluso si me garantizan que las soluciones existen, porque se puede tomar una cantidad infinita de recursos computacionales, que usted no tiene. (Por supuesto, usted puede ser capaz de resolver inteligentemente todos a la vez, pero que puede ser capaz de tocón de un complicado conjunto de Diophantine ecuaciones. Matiyasevich del teorema muestra que sólo puedo pedirle que escribir las soluciones para cada ecuación Diophantine.)

Usted puede pensar algebraicas y cierres de máxima ideales de manera similar. Cuando en realidad se trata de construir la clausura algebraica de un campo, se necesita a veces encontrar polinomios irreducibles así que usted puede lindan con sus raíces y obtener un mayor extensión algebraica. Se necesita de recursos computacionales para encontrar polinomios irreducibles, dependiendo de la naturaleza del campo con el que comenzó, y si el campo que se inició con es lo suficientemente complicada puede tomar más recursos computacionales que se tiene. Del mismo modo, cuando en realidad se trata de escribir un ideal maximal que contiene un ideal, se necesita a veces encontrar elementos que no figuran en el ideal, pero que no, junto con el ideal de generar la unidad ideal. Se necesita de recursos computacionales para ello, etc.