Ayudar a completar una prueba de Dirichlet en biquadratic carácter de 2?

Question

Estoy atascado demostrar el teorema de que existe $x$, $x^4 \equiv 2 \pmod p$ iff $p$ es de la forma $A^2 + 64B^2$.

Hasta ahora tengo esto (y no estoy seguro de si es correcto)

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Deje $p = a^2 + b^2$ ser un extraño prime,

• $\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{p}{a}\right) = \left(\frac{a^2 + b^2}{a}\right) = \left(\frac{b^2}{a}\right) = 1$

desde $p \equiv 1 \pmod 4$

• $\left(\frac{a+b}{p}\right) = \left(\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}\right) = \left(\frac{2}{a+b}\right) = (-1)^{((a+b)^2-1)/8}$

utilizando el símbolo de Jacobi y el segundo supliment de la reciprocidad cuadrática.

• $(a+b)^{(p-1)/2} = (2ab)^{(p-1)/4}$

desde $(a+b)^2 \equiv 2ab \pmod p$

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y el último paso que estoy atascado en la actualidad es de $p = a^2 + b^2$ deje $x^2 \equiv -1 \pmod p$$2^{(p-1)/4} = x^{ab/2}$. Y no veo la manera de demostrar el teorema con este resultado.

Answer 1

Podemos asumir que el 2 es un residuo cuadrático de mod $p$, por lo que el $p \equiv 1 \pmod 8$ y esto implica que si tomamos $a$ impar y $b$, incluso, a continuación, $b$ es un múltiplo de 4. Tenemos que probar que $b$ es un múltiplo de 8.

Primero observar thatas $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ $a^2 + b^2 = p$ hemos $$ \left(\frac{a+b}{p}\right) \equiv (-1)^{((a+b)^2-1)/8} \equiv x^{(p+2ab-1)/4} \pmod{p} $$ tenga en cuenta que el exponente de a $x$ es porque a $b$ es múltiplo de 4, por lo que podemos elegir el signo de la base como se desee.
Además también tenemos $$ a^2 \equiv -b^2 \pmod{p} $$ por lo $a^2 \equiv (xb)^2 \pmod{p}$ y $$ax \equiv \pm b \pmod{p}$$ y recogiendo el signo de $x$ podemos asumir que $ax \equiv b \pmod{p}$. Por lo $ab \equiv a^2 x$ y $$ (ab)^{(p-1)/4} = a^{(p-1)/2} x^{(p-1)/4} \equiv x^{(p-1)/4} \pmod{p} $$ debido a $a$ es una ecuación cuadrática de residuos de mod $p$.

La identidad se obtiene: $$\left(\frac{a+b}{p}\right) = (a+b)^{(p-1)/2} \equiv (2ab)^{(p-1)/4} \pmod p $$ ahora se convierte en $$x^{(p+2ab-1)/4} \equiv 2^{(p-1)/4} x^{(p-1)/4} \pmod p $$ y, en consecuencia, $$2^{(p-1)/4} \equiv x^{ab/2} \pmod p $$ Como $b$ es múltiplo de 4 de decir $b = 4b'$, tenemos $$2^{(p-1)/4} \equiv (-1)^{ab'} \pmod p $$ por lo $2$ es un biquadratic residuo iif $b'$ es par, o lo que es lo mismo iif $b$ es múltiplo de 8 y hemos terminado.