Decir que tengo dos aleatoria normal estándar de las variables de $X_1$ $X_2$ que son conjuntamente normal con el coeficiente de correlación de $r$.
¿Cuál es la función de distribución de $\max(X_1, X_2)$?
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jldugger
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Deje $f_\rho$ ser bivariado PDF Normal para $(X,Y)$ con el estándar de los marginales y de correlación $\rho$. La CDF de la máxima es, por definición,
$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$
La bivariante PDF Normal es simétrica (a través de la reflexión) alrededor de la diagonal. Por lo tanto, el aumento de $z$ $z+dz$agrega dos tiras de igual probabilidad a la original semi-infinita de la plaza: el infinitesimalmente de espesor superior es $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$, mientras que refleja la contraparte, la mano derecha de la tira, es $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$.
La densidad de probabilidad de la mano derecha de la tira es la densidad de $X$ $z$ veces el total de la probabilidad condicional de que $Y$ está en la franja de gaza, $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$. La distribución condicional de $Y$ siempre es Normal, así que para encontrar este total probabilidad condicional sólo necesitamos la media y la varianza. La media condicional de $Y$ $X$ es el de regresión de predicción de $\rho X$ y la varianza condicional es la "inexplicable" de la varianza $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$.
Ahora que sabemos que la media condicional y de la varianza, el condicional CDF de $Y$ $X$ puede ser obtenida mediante la estandarización de las $Y$ y la aplicación de la Normal estándar CDF $\Phi$:
$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$
La evaluación de este a $y=z$ $X=z$ y multiplicando por la densidad de $X$ $z$ (una Normal estándar pdf $\phi$) da la densidad de probabilidad de la segunda (derecha) de la tira
$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$
Duplicar esta cifra representa el equi-probables de la franja superior, dando el PDF de la máxima como
$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$
Recapitulación
He de color de los factores para significar sus orígenes: $\color{blue}2$ durante los dos simétrica tiras; $\color{black}{\phi(z)}$ para el infinitesimal tira anchos; y $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ para la franja de longitudes. El argumento de este último, $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$, es sólo una versión estandarizada de $Y=z$ condicional en $X=z$.
De acuerdo a Nadarajah y Kotz, 2008, la Distribución Exacta de los Max/Min de Dos Variables Aleatorias Gaussianas, el PDF de $X = \max(X_1, X_2)$ parece ser
$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$
donde $\phi$ es el PDF y $\Phi$ es la CDF de la distribución normal estándar.
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