L-Hospital de la regla de fallar por $\lim _{x \to \infty} \frac{x+\sin x}{x+2 \sin x}$?

Question

Para $$\lim _{x \to \infty} \frac{x+\sin x}{x+2 \sin x}$$ if I solve it by dividing by $x$ and I get the correct answer which is $1$ but when I apply L-Hopital rule for $\infty /\infty$ form then I get answer as limit does not exist because we cannot say anything about $$\lim _{x \to \infty} \frac{1+\cos x}{1+2 \cos x}$$

¿Por qué L-Hospital de la regla de error para este caso? O es algo incorrecto en mi enfoque?

Answer 1

L'hôpital dice que si

$$\lim \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime }(x)}$$ existe, entonces $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$$ existe. En el caso de que el primer límite no existe, esto no contradice la regla, pero no se puede extraer ninguna conclusión sobre el segundo límite.