Confiando en el proceso matemático

Question

En el estudio de la matemática que son, al menos parcialmente, interesado en hacer abstracción de problemas del mundo real y su solución a través de rigurosas técnicas y métodos, y, a continuación, la interpretación de los resultados. Nos deja acercar a uno de esos problemas - Supongamos que tuviéramos que crear algún tipo de modelo (tal vez un sistema dinámico de algún tipo) para gobernar un fenómeno que se observa en la vida real. En la construcción de este modelo, podemos crear ecuaciones para representar cantidades y relaciones en el sistema que son de interés para nosotros. Una vez que el modelo está en su lugar, vamos sobre 'problemas' para cantidades relevantes y, a continuación, la interpretación de allí.

Mi problema radica en la separación de la fisicalidad del problema durante el proceso de resolución del problema. Cuando nosotros resolver este tipo de sistemas se suelen utilizar técnicas tales como el complejo de integración, o el resumen de la matriz o del operador de la manipulación que, como tengo entendido, es un nivel de abstracción y que se aplican con el fin de obtener soluciones. Es como si comenzamos el problema en el ámbito físico donde la ecuación tiene una correspondencia directa con el problema, a continuación, pasar a la matemática reino donde vamos a hacer manipulaciones. En este momento nosotros (o tal vez sólo yo?) perder de vista el problema real y que sólo funcionan en la de matemáticas, y, a continuación, convertir la espalda. Lo que sucede en esta zona media y cómo soy yo para estar seguro de que estas abstracto manipulaciones no son fundamentalmente cambiar las cosas o la introducción de nuevos matices que debo cuidar?

Sí entiendo que la matemática es bastante formal, y que 'la confianza', pero sus casi se siente como una cuestión de alcance. Mientras se trabaja con las ecuaciones yo personalmente a menudo pierden de vista el problema hasta que estoy cerca de una solución.

También, parece fácil mirar hacia atrás y decir, ok, así que nuestra solución para algunas modelo da resultados válidos en cada momento, así que por supuesto que podemos confiar en este proceso matemático, pero seguro que hay más explicación racional. Tal vez su personal de mi miopía que interfieren en el proceso, pero a pesar de que me gustaría saber algunos otros pueblos pensamientos sobre esto.

PD : reconozco que este podría ser el límite fuera de tema, pero su molestaba mí para siempre y este parece un buen lugar como cualquier otro para pedir, por favor siéntase libre de redirección.

Gracias!

Answer 1

Es como si comenzamos el problema en el ámbito físico donde la ecuación tiene una correspondencia directa con el problema, a continuación, pasar a la matemática reino donde vamos a hacer manipulaciones. ... Lo que sucede en esta zona media y cómo soy yo para estar seguro de que estas abstracto manipulaciones no son fundamentalmente cambiar las cosas o la introducción de nuevos matices que debo cuidar?

En mi opinión, usted no puede estar seguro de ello. Usted puede simplemente decir "ha funcionado bien hasta ahora". Considere el ejemplo de la más simple modelo matemático: el uso de números para representar colecciones de objetos. Siempre hay una posibilidad de que mañana, en el universo físico, una manzana y una manzana podría hacer tres manzanas, y a pesar de que los físicos se sorprenda al descubrir que la energía no se conserva, no tenemos motivos para quejarse ", pero que no funciona en matemáticas".

Considere esta cita, que por supuesto es de aplicación más general que el tema en cuestión:

"El mapa no es el territorio". - Alfred Korzybski

Para nosotros, el mapa es el modelo matemático, y el territorio es el universo físico. Podemos tratar de trazar un mapa preciso y, a continuación, (por ejemplo) tratar de trazar un camino entre dos partes del territorio, pero si vamos a probarlo en la vida real y que resulta ser incorrecta, no estamos sorprendidos por esto, ni nos quejamos de que hacer marcas en un pedazo de papel debe tener lógica implícita de que una declaración acerca de la realidad física debe ser cierto. Decimos "nuestro mapa era inexacta".

Aquí están algunas citas relevantes:

• "El físico, en su estudio de los fenómenos naturales, tiene dos métodos de hacer progresos: (1) el método de la observación y el experimento, y (2) el método de razonamiento matemático. El primero es la simple recopilación de datos seleccionados; la segunda, permite inferir resultados sobre los experimentos que no se han realizado. No hay ninguna razón lógica por la cual el segundo método debería ser posible en todo, pero uno se ha encontrado en la práctica que funciona y cumple con razonable éxito." - Paul Dirac

• "Todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles". - George Cuadro

• "No hay nada más común de error de suponer que, debido a la prolongada y precisos cálculos matemáticos se han hecho, la aplicación del resultado de algún hecho de la naturaleza que es absolutamente cierto." - Alfred North Whitehead

• "En cuanto a las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas, en cuanto que son ciertas, no se refieren a la realidad." - Albert Einstein

Answer 2

¿Cómo voy a estar seguro de que estas abstracto manipulaciones no son fundamentalmente cambiar las cosas o la introducción de nuevos matices que debo cuidar?

No "tengan la seguridad". En la modelo, que ya establece algunas limitaciones ya las restricciones que, por definición, hacer que su modelo de < 100% representación de la realidad. El punto de que el modelo no es reproducir la realidad, sino para crear una cantidad suficiente de una abstracción de que el problema solucionable, y también hacen que sea aplicable a la vida real, cuando las cosas cambian en la vida real.

Como usted está haciendo las matemáticas, no está cambiando las cosas o la introducción de matices. La matemática es la computación. Sólo porque usted puede estar haciendo caso omiso de algunos de valor de paso X paso Y no quiere decir que vas a cambiar las cosas. La base de ignorar algunos de valor generalmente descansa en el hecho de que el valor llega a cero o de lo contrario es insignificante para el resultado y por lo tanto puede ser ignorado.

Answer 3

Esto es un poco abstracto, pero si por el diseño de su modelo en una forma que una propiedad matemática $A$ (por ejemplo, una fórmula o lo que sea) tiene y es por loco weired cosas (uso de fix teoremas de punto o lo que sea) posible demostrar que el $A\Leftrightarrow B$ mientras $B$ es especialmente fácil de interpretar. a continuación, puede utilizar $B$ "más fácil" modelo equivalente.

Lo que realmente hace es confiar en la nescessairy de matemáticas, que significa que si los axiomas son contradictorios (tal vez el axioma de elección es incorrecta? :-) ) comete una equivocación. Lo que usted no necesita hacer es interpretar cada paso de tu modelo. Me refiero, por supuesto, usted puede hacer eso y la interpretación se ajuste al modelo si se hace correctamente, pero que podría ser difícil.

Todo lo que necesita es una "interpretación correcta", $A$ es una declaración acerca de los números, (que significa una afirmación matemática) y que $A$ implica $B$ (la prueba en sí no es importante, no afecta a la propiedad de que los modelos son equivalentes)

es todo un poco vaga... y llena de opinión