Muestran la secuencia de equicontinuous

Question

No sé cómo demostrar a esta pregunta:

Deje $X$ ser un espacio compacto, y deje $(T_{n})$ ser una secuencia de lineal positiva de los operadores en $C(X)$. También, vamos a $f \in C(X)$ ser estrictamente una función positiva. Entonces si $T_{n}(f) \rightarrow f$ (uniformemente), entonces la secuencia de $(T_{n})$ es equicontinuous.

Ahora ya que esta es estrictamente una función positiva, soy consciente de que la función de $f(x) \geq 0$ todos los $x \in X$, pero ¿cómo se hace para probar que la siguiente parte de la frase?

La esperanza de tener a alguien arrojar algo de luz sobre esto. Gracias.

Answer 1

Sólo voy a tratar con un valor real a funciones, pero el caso complejo es de fácil acceso desde el este.

Un positivo operador en $C(X)$ es permanente porque su norma satisface $\|T\| = \|T(1_X)\|_{\infty}$:

Escrito $1_X$ para la función constante $x \mapsto 1$, tenemos para todos los $g \in C(X)$ que $$ -\|g\|_\infty \cdot 1_X \leq g \leq \|g\|_\infty \cdot 1_X, $$ así que la positividad de $T$ rendimientos $$ -\|g\|_\infty T(1_X) \leq T(g) \leq \|g\|_\infty T(1_X). $$

y, por tanto,$\|T(g)\|_\infty \leq \|g\|_\infty \cdot \|T(1_X)\|_\infty$. Esto demuestra que $\|T\| \leq \|T(1_X)\|_\infty$ y teniendo en $g = 1_X$ vemos que un positivo operador debe disponer de $\|T\| = \|T(1_X)\|_\infty$.

Por otro lado, se nos da ese $\|T_n(f) - f\|_\infty \to 0$ donde $f$ se supone que para ser estrictamente positivo. Por la compacidad de $X$ y la continuidad de la $f$ hay $x_0 \in X$ tal que $0 \lt f(x_0) \leq f(x)$ todos los $x \in X$. Esto nos dice que $f(x_0) 1_X \leq f$ y por la positividad de los operadores de $T_n$ llegamos a la conclusión de que $0 \leq f(x_0) T_n(1_X) \leq T_n(f)$ donde $\|T_n\| = \|T_n(1_X)\|_\infty \leq \frac{1}{f(x_0)} \|T_n(f)\|_\infty$.

Sin embargo, desde la $\|T_nf - f\|_\infty \to 0$, existe una constante $C$ tal que $\|T_n(f)\|_\infty \leq C$ todos los $n$. En conclusión, $\|T_n\| \leq \frac{C}{f(x_0)}$ todos los $n$, que es equicontinuity de la familia de operadores lineales $T_n$.