El Teorema de Burnside

Question

He visto dos declaraciones del Teorema de Burnside y son como sigue.

Declaración 1: Deje $p, q$ ser distintos números primos y $a,b \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. No existe un no-abelian simple grupo de $G$ orden $p^aq^b$.

Instrucción 2. Deje $p,q$ ser distintos números primos y $a,b \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Entonces cualquier grupo $G$ orden $p^aq^b$ es solucionable.

Así como estas instrucciones son equivalentes esto significa que cada solucionable grupo no es que no abelian y simple? ¿Por qué es este el caso?

Answer 1

Extraña forma de redacción (la negación no debería ser "(no abelian y simple)", de lo contrario puede ser mal interpretados), pero sí: una solución de grupo debe ser abelian, o de lo contrario no es sencillo. Más que eso, si $G$ tiene solución, entonces no pueden existir subgrupos $H$$K$$G$, de tal manera que $H\triangleleft K$ $K/H$ es nonabelian y simple.

Sin embargo, es posible que un grupo de no-simple y, sin embargo, no se pueden resolver (por ejemplo, $S_n$$n\gt 4$).

Un grupo de $G$ tiene solución si y sólo si existe una serie normal $$\{1\} = H_n \triangleleft H_{n-1}\triangleleft\cdots\triangleleft H_1\triangleleft H_0 = G$$ tal que $H_{i+1}\triangleleft H_i$ $H_i/H_{i+1}$ es abelian.

Para cada grupo finito $G$, no es una serie normal como en el anterior en el que $H_i/H_{i+1}$ es simple, y $G$ solución si y sólo si en esa serie todos los coeficientes son cíclicos de los grupos de primer orden. Así, en particular, si no hay nonabelian simple grupos de orden $p^aq^b$, entonces cualquier serie para un grupo de orden $p^{\alpha}q^{\beta}$ no ha $H_i/H_{i+1}$ nonabelian y simple, por lo tanto todos ellos serán abelian y simple, por lo $G$ será solucionable. Esto demuestra que la Declaración de $2$ implica la declaración de $1$. A ver que la declaración de $1$ implica la declaración de $2$, ten en cuenta que un nonabelian grupo simple no es solucionable.