Condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio $p$ a satisfacer $\|x\|\to\infty\implies p(x)\to\infty$?

Question

Estoy buscando una de las condiciones necesarias y suficientes (ni siquiera estoy seguro de que estos existen) para un polinomio $p:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ a "radialmente sin límites", que es

$$\|x\|\to\infty\implies p(x)\to\infty,$$

donde $\|{\cdot}\|$ denota cualquier $p$-norma en $\mathbb{R}^n$. Idealmente, estoy en busca de condiciones en términos de los coeficientes del polinomio y el grado.

Por ejemplo, si $n=1$ es sencillo ver que $p$ es radialmente acotada si y sólo si su grado es par y el monomio de mayor grado tiene un coeficiente positivo.

Sin embargo, yo estoy luchando para generalizar esta arbitraria $n$. Cualquier ayuda sería genial.

Motivación: estoy interesado en la anterior, porque estoy tratando de llegar a un automatised de prueba que pueden decidir si o no todo el subnivel conjuntos de un polinomio son compactos (esto es para si y solo si el polinomio es radialmente unbounded).

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Edit: Si no hay condiciones necesarias y suficientes (o el argumento de que no existen tales condiciones en general) se colocan antes de la recompensa que se termina, yo estaría más que feliz con el premio de la recompensa de cualquier respuesta que contiene perspicaces observaciones o necesario o condiciones suficientes.

Answer 1

Para hacer mercio comentario más formal y explícita :

Uno puede descomponer $P=\sum_{i=0}^{d} P_i$ donde cada una de las $P_i$ es un suma de monomials todos de cuyo total grado son iguales a$i$$P_d \neq 0$.

Obviamente, una condición necesaria para $P$ a satisfacer su condición es que involucra todas las variables $x_1,x_2, \ldots ,x_n$.

Que conduce a la siguiente definición : la parte esencial de un polinomio $P$ (la participación de todas las variables) es la suma de $\sum_{i=w}^{d} P_i$ donde $w$ es el índice más grande que tal que $\sum_{i=w}^{d} P_i$ involucra a todos las variables.

Hecho 1. Si $Q$ es la parte esencial de un polinomio $P$, luego $P-Q=o(Q)$ al $||x|| \to \infty$. [EDIT : esto es incorrecto, como se explicó en la Jirafa de comentarios de abajo]

Corolario. $P$ satisface su propiedad iff $Q$.

Por ejemplo, si $n=6$$P=x_1^{2013}-5x_2x_3^{2012}+7x_4^{20}x_5^{30}x_6^{100}+48x_1+2x_6$, tenemos $P_{2013}=x_1^{2013}-5x_2x_3^{2012}$, $P_{150}=7x_4^{20}x_5^{30}x_6^{100}$, $P_{1}=48x_1+2x_6$ $Q=P_{2013}+P_{100}=x_1^{2013}-5x_2x_3^{2012}+7x_4^{20}x_5^{30}x_6^{100}$.

Comentario 1. Si $P$ es una forma cuadrática, a continuación, $P$ satisface su condición iff es positiva definida.

Observación 2. Si $P$ es homogénea, a continuación, $P$ satisface su propiedad iff ${\min}_{S^{n-1}}(P) > 0$ donde $S^{n-1}=\lbrace x\in {\mathbb R}^n | ||x||=1\rbrace$ (eso es porque $P(ru)=r^nP(u)$$u\in S^{n-1}$).

Answer 2

Cambio generalizado de coordenadas esféricas, $p$ se convierte en un polinomio $$q(r,\cos\theta_2,\sin\theta_2,\ldots,\cos\theta_n,\sin\theta_n)$$ que podemos ver como un polinomio en $r$ con coeficientes de los polinomios en $\cos\theta_2,\sin\theta_2,\ldots,\cos\theta_n,\sin\theta_n$. Queremos demostrar que esto va a$\infty$$r\to\infty$, independiente de los valores de $\theta_2,\ldots,\theta_n$. Es suficiente para demostrar que el coeficiente de $c(\cos\theta_2,\sin\theta_2,\ldots,\cos\theta_n,\sin\theta_n)$ está acotado abajo por algunas de las $\epsilon>0$. Dado que el dominio de la $\theta_i$ es compacto, es suficiente para mostrar que $c$ es estrictamente positivo. El rango de $(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$ es, precisamente, el conjunto de pares $(x_i,y_i)$ tal que $x_i^2+y_i^2=1$. Por lo tanto $c$ es estrictamente positivo si el sistema de $$\begin{align} c(x_2,y_2,\ldots,x_n,y_n) &\leq 0\\ x_2^2+y_2^2 &= 1\\ \vdots\\ x_n^2+y_n^2 &= 1\\ \end{align}$$ no tiene soluciones reales. La determinación de si un sistema tiene soluciones reales es un problema clásico en el Real Semialgebraic de Descomposición, y puede lograrse a través de la Cilíndrico Algebraica de Descomposición.

Como la Jirafa señala, esta condición no es muy necesario: si $c$ es no negativa, pero no es estrictamente positivo, puede ocurrir que cuando $c=0$ el siguiente coeficiente de $d$ es estrictamente positivo, en cuyo caso $f$ es todavía radialmente sin límites. Por lo tanto $f$ es radialmente unbounded si tanto $$\begin{align} c(x_2,y_2,\ldots,x_n,y_n) &< 0\\ x_2^2+y_2^2 &= 1\\ \vdots\\ x_n^2+y_n^2 &= 1\\ \end{align}$$ y $$\begin{align} d(x_2,y_2,\ldots,x_n,y_n) &\leq 0\\ c(x_2,y_2,\ldots,x_n,y_n) &= 0\\ x_2^2+y_2^2 &= 1\\ \vdots\\ x_n^2+y_n^2 &= 1\\ \end{align}$$ no tienen soluciones. De la misma manera, es posible que tanto $c$ $d$ son no negativos y cuando ambas son iguales a cero, el siguiente coeficiente es estrictamente positivo. Podemos expresar esta utilizando tres sistemas de igualdades y desigualdades. Proceder de la misma manera hasta llegar a la última coeficiente nos da una condición necesaria y suficiente.

Edit: resulta de la modificación (mirando más tarde coeficientes) no acaba de funcionar, como podríamos haber $\theta_i$ enfoque de los ceros de $c$ $r\to \infty$ lo suficientemente rápido como para cancelar el mayor poder de $r$. Al menos la primera parte proporciona una condición suficiente.