¿Puede la desigualdad $\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6$ ¿se puede demostrar con la diferenciación?

Question

$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6,\quad \text{with}\quad a,b,c > 0$$

Podría hacerlo dejando $x=\frac{a}{b}$ , $y=\frac{b}{c}$ , $z=\frac{c}{a}$ pero me pregunto si se puede resolver de alguna manera con la diferenciación.

Answer 1

Sí, también se puede hacer por diferenciación. En sus términos, el LHS se convierte en $$ x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}. $$ Por diferenciación, se puede demostrar que $$ t+\frac{1}{t}\ge 2,\quad t>0. $$ Da el resultado.

Answer 2

Considera que buscas el mínimo de función $$\Phi=\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \tag 1$$ Calcular las derivadas parciales $$\frac{\partial\Phi}{da}=-\frac{b+c}{a^2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\tag 2$$ $$\frac{\partial\Phi}{db}=-\frac{a+c}{b^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\tag 3$$ $$\frac{\partial\Phi}{dc}=-\frac{a+b}{c^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\tag 4$$ y decir que todos ellos son iguales a $0$ .

Desde $(2)$ resolver la cuadrática para $b$ . Las dos raíces son $$b_1=\frac {a^2} c\qquad \text{and}\qquad b_2=-c\implies b=\frac {a^2} c$$ desde $a,b,c$ son positivos.

Enchufe $b=\frac {a^2} c$ en $(3)$ para conseguir $$\frac{(a+c) \left(a^3-c^3\right)}{a^4 c}=0\implies c=a\implies b=c=a$$ Enchufar $(4)$ para conseguir $0=0$ .

Sustituir en $(1)$ y obtener $6$ .

Answer 3

Se puede hacer por diferenciación pero es mucho más fácil utilizar $x^2 \geq 0$ .

Suponiendo que $a,b,c $ son positivos \begin{eqnarray*} a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 \geq 0 \\ \end{eqnarray*} Amplíalos \begin{eqnarray*} ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \geq 6abc \\ \end{eqnarray*} Ahora divide por $abc$ .

Answer 4

Por AM-GM para variables positivas: $$\sum_{cyc}\frac{b+c}{a}\geq2\sum_{cyc}\frac{\sqrt{bc}}{a}\geq6\sqrt[3]{\prod_{cyc}\frac{\sqrt{bc}}{a}}=6.$$

AM-GM es la desigualdad de Jensen para $f(x)=\ln{x}$ porque $f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ .

Answer 5

Este es un ejemplo estándar: equivale a $$(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9$$ que es AM/HM o Cauchy-Schwarz (siempre que todos $a$ , $b$ , $c$ son no negativos).