Para el caso de que tenemos latas con $2,3,4$ litros, considere el polinomio
\begin{equation}
(1+x^2)^3 (1+x^3)^2(1+x^4)^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^2\left(1+\frac{1}{x^3}\right) \left(1+\frac{1}{x^4}\right)
\end{equation}
Buscar en los términos $x^k$ donde $k\geq 1$. Yo creo que todos los poderes de $x$ son las capacidades que puede medir el uso de los tres latas.
Razonamiento:
Cualquier término de la forma $1+x^a$ permite dos opciones: o bien llenar la lata de volumen $a$ o no se llene. Si multiplicamos tres términos y escribió $(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)$, esto le permitirá averiguar cuántos de los diferentes volúmenes se puede medir si se le permite llenar cada uno puede en la mayoría de los una vez y si se puede una vez rellenados no se vacía nunca.
También, en el caso de las latas de tamaño $2,3$$4$, es posible llenar la de 2 litros, puede una vez, se la vacía en la 4 litros puede, llenar la de 2 litros, puede de nuevo, se vierte en el de 4 litros puede volver y llenar la de 2 litros, ¿puede una tercera vez. Esta es la razón por la que hemos $(1+x^2)^3$. Lo mismo para las de 3 litros puede. El 4 de litro puede podría vaciarse en el 2 y 3 litros de latas combinado y el rellenado de nuevo, así que tenemos el término $(1+x^4)^2$.
También debemos permitir que resta de volúmenes - Esto implica que los términos de la forma $(1+\frac{1}{x^a})$ debe estar presente. Si nos fijamos en la de 2 litros, puede, usted puede llenar y vaciar) a partir de los 4 litros puede dos veces. Por lo tanto, tenemos un plazo $(1+1/x^2)^2$. Del mismo modo conseguimos que el término $(1+1/x^3)$. El 4 de litro puede también podría ser vaciado una vez después del llenado de las otras dos latas. Combinando todo esto, obtenemos
\begin{equation}
(1+x^2)^3 (1+x^3)^2(1+x^4)^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^2\left(1+\frac{1}{x^3}\right) \left(1+\frac{1}{x^4}\right)
\end{equation}
Esta idea se puede extender a otros valores de$a,b$$c$. Yo la probé un par de otros valores (utilizando Wolfram Alpha para ampliar las expresiones) y parece que funciona.
