¿Por qué es $9 \times 11{\dots}12 = 100{\dots}08$?

Question

Mientras yo estaba trabajando en Luhn algoritmo de implementación, descubrí algo inusual.

$$ 9 \times 2 = 18 $$ $$ 9 \times 12 = 108 $$ $$ 9 \times 112 = 1008 $$ $$ 9 \times 1112 = 10008 $$

Espero que usted pueda observar el patrón aquí.

Qué prueba esto? Cuál es su importancia?

Answer 1

He aquí una idea.

Este patrón es más fácil de entender: $$ 9 \times 11 = 99$$

$$9 \times 111 = 999$$

$$9 \times 1111 = 9999$$

Luego de ver lo que sucede cuando se añade 9 a ambos lados.

Answer 2

El repunit, $R_k = \overbrace{111\ldots 111}^{k \text{ ones}}$ , puede ser escrito como $R_k = \dfrac{10^k-1}{9}$

Su bonito patrón corresponde a $9\times (R_k+1) = (10^k-1)+9 = 10^k+8$

Answer 3

Una lógica detrás.

$9 \times (0 + 2) = 9 \times 0 + 9 \times 2 = 18$

$9 \times (10 + 2) = 9 \times 10 + 9 \times 2 = 108$

$9 \times (110 + 2) = 9 \times 110 + 9 \times 2 = 1008$

Así sucesivamente.

Answer 4

$$9 \times 11\cdots12 = 9 \times (11\cdots 11+1) = 99\cdots99 + 9.$$

Answer 5

Escribir $1...12$ $$\overline{1...(\times\ n)...1} +1=\frac{10^n-1}{9}+1$$

Por lo tanto $$9\times (\frac{10^n-1}{9}+1)=10^n-1+9=10^n+8$$