La analogía entre los grupos de Galois y fundamental de los grupos de

Question

He oído que hay una analogía entre algebraicas campo de extensiones y fundas (en la topología). En esta analogía extensiones de Galois corresponden a Galois cubre y Galois grupos corresponde a los grupos.

Podrías explicar con más detalles de esta analogía y/o dar una referencia? Por otra parte, es sólo una bonita analogía entre dos diferentes rama de las matemáticas o hay 'interacciones' entre ellos, también?

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está un breve resumen sobre las analogías entre la Teoría de Galois y fundamental de los grupos (objetos correspondientes serán indicadas por "$\leftrightarrow$"). La mayoría de las analogías llegado en el estudio de cubrir los espacios. Deje $p\colon \tilde{X}\to X$ una cubierta.

$X$ $\leftrightarrow$ un campo de $F$

$\tilde{X}$ $\leftrightarrow$ separados de cierre de $\bar{F}$

$\pi_1(X)$ $\leftrightarrow$ $Gal(\bar{F}/F)$

Teorema 1: Hay un bijection entre los subgrupos $H<\pi_1(X,x_0)$ señaló y revestimientos $(\tilde{X},\tilde{x})\to(X,x_0)$.

Correspondencia: bijection entre los subgrupos de $Gal(L/F)$ $\leftrightarrow$ subextensions $L\supset E\supset F$.

Teorema 2: Si $N\unlhd \pi_1(X)$, la correspondiente cubriendo $p\colon \tilde{X}\to X$ es, s.t. $Homeo_X(\tilde{X})=\pi_1(X)/\pi_1(\tilde{X}),$ donde $Homeo_X(\tilde{X})=\mbox{Group of homeos of }\tilde{X}\mbox{ commuting with }p\colon\tilde{X}\to X.$

Correspondencia: extensiones de campo, s.t. $L/F$ es de Galois y $Gal(L/E)\unlhd Gal(L/F)$. A continuación,$Gal(E/F)=Gal(L/F)/Gal(L/E)$.

Teorema 3: Si usted considera que la monodromy acción, se puede comprobar, que la cardinalidad de las hojas [que no depende del punto elegido, si el espacio es el camino-conectado (argumento principal: compactedness)], es igual a la cardinalidad de a $\pi_1(X,x_0)/\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}_0)$.

Correspondencia: $L/F$ Galois de la extensión, $\alpha\in L$, $\mu_\alpha(x)\in F[x]$ su mínimo polynom. Deje $\{x_i\}$ el conjunto de $\mu_\alpha(x)$. A continuación, $Gal(L/F)$ da una acción en $\{x_i\}$ (analogía de monodromy). Existe también una fórmula que la cardinalidad de a $\{x_i\}$ es igual a la cardinalidad de a $Gal(L/F)$ (bajo ciertas circunstancias) o $Gal(L/F)/Gal(L/F[x])$.

Tal vez usted debe buscar un teorema que se llama "la correspondencia de Galois" (o algo así). Creo que en Hatcher "Topología Algebraica"-libro (pág. 71) usted va a encontrar algo al respecto.